Формули для наближених обчислень

.

10,04093

1,0262

1,17273

4,462

3,2453» 3,25.

5. Дії над наближеними числами. Результатом дій над наближеним числом є також наближене число. Похибка результату може виражатись через вихідні дані за допомогою таких теорем:

1. Гранична абсолютна похибка алгебричної суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків.

2. Відносна похибка суми обмежена найменшою та найбільшою відносною похибкою доданків.

3. Відносна похибка добутку та частки дорівнює сумі відносних похибок множників, або, відповідно, діленого та дільника.

4. Відносна похибка n -го степеня наближеного числа в n разів більша за відносну похибку основи (як для цілих так і для дробових n).

Користуючись цими теоремами можна визначити похибку результату будь-якої комбінації арифметичних дій над наближеними числами.

6. Обчислення без точного урахування похибок. При масових обчисленнях, коли не враховують похибку кожного окремого результату, користуються правилами підрахунку цифр. Додержуючись цих правил можна вважати, що в середньому одержані результати обчислень будуть мати всі знаки вірними.

Правила підрахунку цифр:

6.1. При додаванні та відніманні наближених чисел кінцевий результат округлюють таким чином, щоб у ньому не було значущих цифр у тих розрядах, які відсутні хоча б в одному з доданків.

Наприклад, при додаванні чисел:

+

3,38

Слід округлювати результат до трьох значущих цифр, тобто прийняти його рівним 10,04.

6.2. При добуткові слід округлювати множники так, щоб кожний множник містив стільки значущих цифр, скільки їх є у множнику з найменшою кількістю значущих цифр.

Наприклад, замість виразу

3,723 × 2,4 × 5,1846

слід обчислювати вираз

3,7 × 2,4 × 5,2.

В кінцевому результаті необхідно залишати таку саму кількість значущих цифр, яка була у множниках після їх округлення. В проміжних результатах слід залишати на одну значущу цифру більше.

3,7 × 2,4 × 5,2 = 8,88 × 5,2 = 46,176» 46,2.

Такого самого правила слід дотримуватися і при діленні.

6.3. При піднесенні до квадрата чи куба слід у степені брати стільки значущих цифр, скільки їх має основа.

Наприклад:

6.4. При добуванні квадратного чи кубічного кореня в результаті слід брати стільки значущих цифр, скільки їх має число, що стоїть під коренем.

Наприклад:

.

6.5. При обчисленні складних виразів слід дотримуватися вказаних вище правил відповідно до виду виконуваних дій.

Наприклад: Виконати обчислення:

.

Множник 5.1 має найменшу кількість значущих цифр – дві. Тому результати всіх проміжних дій треба округлювати до трьох значущих цифр.

.

Після округлення результату до двох значущих цифр, одержуємо 3,8 × 10^-3.

7.1. Якщо а <<1, то в першому наближенні можна приймати:

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. а; 10. .

7.2. Якщо а та b мало відрізняються одне від одного, то в першому наближенні можна прийняти:

.

7.3. Якщо кут α < 5° і виражений у радіанах, то у першому наближенні можна приймати: ; .

Дата добавления: 2014-11-07