Системы случайных величин

Решение.

Решение.

Эксперимент заключается в проверке детали. Проверяется 900 деталей ().

а) Пусть событие – деталь стандартная,,. Требуется с вероятностью 0,9545 определить границы доли числа «успешных» исходов (т.е. границы относительной частоты стандартных деталей). Применим формулу следствия 3, откуда выразим. По условию задачи, откуда по таблице значений функции Лапласа определяем. С другой стороны,. Из последних соотношений. Из неравенства следует с вероятностью 0,9545. Таким образом, с вероятностью 0,9545 следует ожидать что доля стандартных деталей среди 900 проверенных будет колебаться от 88% до 92%.

б) Пусть событие – деталь нестандартна,,. Необходимо вычислить вероятность, где – доля нестандартных деталей из 900. По формуле следствия 2:

,

,

.

Пример: Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 по абсолютной величине?

Опыт состоит в продаже ценной бумаги. Продается ценных бумаг (). Обозначим событие – ценная бумага продана,,. Требуется определить из условия.Воспользуемся формулой следствия 3. Исходя из условия задачи, откуда по таблице значений функции Лапласа определяем. С другой стороны,. Из равенства, получаем, что.

Задача 11.

Решение этой задачи связано с разделом «Математическая статистика». Определение основных понятий и фактов представим ниже.

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Свойства функции распределения системы случайных величин:

1. Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу.

2. Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице.

3. При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю.

4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения.

Если известна плотность распределения, то функция распределения может быть легко найдена по формуле:

Двумерная плотность распределения неотрицательна и двойной интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице.

По известной плотности совместного распределения можно найти плотности распределения каждой из составляющих двумерной случайной величины.

;;

Если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.

Пример: Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины задан таблицей:

Y X
	0,12	0,15	0,10
	0,08	0,10	0,12
	0,05	0,10	0,18

Найти: законы распределения вероятностей компонент X и Y; математические ожидания M(X), M(Y); дисперсии D(X), D(Y) и средние квадратические отклонения, компонент.

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений X:;;. Запишем закон распределения компоненты X:

X
p(x)	0,25	0,35	0,40

Найдем числовые характеристики случайной величины X:,,.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y:;;.

Запишем закон распределения компоненты Y:

Y
p(y)	0,37	0,30	0,33

Находим числовые характеристики случайной величины Y:,,.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных случайных величин:

,

где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Пример. Найти условный закон распределения и условное математическое ожидание составляющей Y при X= x₁=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:

Y	X
x1=1	x2=3	x3=4	x4=8
y1=3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2=6	0,30	0,10	0,03	0,07

Решение

Таким образом, условный закон распределения составляющей Y при X= 1 принимает вид:

Y
p	1/3	2/3

Условное математическое ожидание при этом,

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

Корреляционным моментом m_xy (или ковариацией) случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Практически используются формулы:

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Удобно пользоваться следующей формулой

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции обладает рядом свойств:

1. Коэффициент корреляции является безразмерной величиной.

2. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

3. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

4. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и Y – зависимые случайные величины. Представим приближенно одну случайную величину как функцию другой. Точное соответствие невозможно. Будем считать, что эта функция линейная.

Функция g(X) называется наилучшим приближением случайной величины Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание принимает наименьшее возможное значение. Также функция g(X) называется среднеквадратической регрессией Y на X.

Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х вычисляется по формуле:

,

m_x=M(X), m_y=M(Y), коэффициент корреляции величин Х и Y.

Величина называется коэффициентом регрессииY на Х.

Прямая, уравнение которой, называется прямой среднеквадратической регрессииY на Х.

Величина называется остаточной дисперсией случайной величины Y относительно случайной величины Х. Эта величина характеризует величину ошибки, образующейся при замене случайной величины Y линейной функцией g(X) =a Х + b.

Видно, что если r= ±1, то остаточная дисперсия равна нулю, и, следовательно, ошибка равна нулю и случайная величина Y точно представляется линейной функцией от случайной величины Х.

Прямая среднеквадратичной регрессии Х на Y определяется аналогично по формуле:

Прямые среднеквадратичной регрессии пересекаются в точке (т_х, т_у), которую называют центром совместного распределения случайных величин Х и Y.

Если две случайные величины Х и Y имеют в отношении друг друга линейные функции регрессии, то говорят, что величины Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Пример: Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины задан таблицей:

Y X
	0,12	0,15	0,10
	0,08	0,10	0,12
	0,05	0,10	0,18

Найти: ковариацию; коэффициент корреляции; прямую среднеквадратической регрессии Y на X.

Решение. При решении предыдущей задачи были получены законы распределения компонент двумерной случайной величины и их числовые характеристики:

X
p(x)	0,25	0,35	0,40

,,.

Y
p(y)	0,37	0,30	0,33

,,.

Ковариацию найдем по формуле, где можно вычислить по формуле

где двойная сумма означает суммирование по всем клеткам исходной таблицы:

.

Тогда ковариация.

Найдем коэффициент корреляции.

Используя формулу, найдем прямую среднеквадратической регрессии Y на X: или.

Дата добавления: 2014-10-15