Решение. Примеры решения ключевых задач

Решение.

Примеры решения ключевых задач.

Практически можно считать, что при значения функции Лапласа.

Практически можно считать, что при значения функции Гаусса.

4. Интегральная приближенная формула Муавра ­– Лапласа

Теорема. Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие появляется с вероятностью, то для любого промежутка справедливо соотношение:

,

где,,.

Данная формула носит название интегральной формулы Муавра ­– Лапласа и применяется обычно для.

Функция называется функцией Лапласа. Для упрощения расчетов ее значения табулированы. Для применения таких таблиц нужно знать следующие свойства функции:

ü Функция является нечетной, т.е..

ü Функция – монотонно возрастающая, причем при.

Приведем ряд следствий интегральной формулы Муавра – Лапласа.

Следствие 1. Вероятность того, что число наступлений некоторого события отличается от произведения не более, чем на величину,по абсолютному значению, равна

,

где.

Следствие 2. Вероятность того, что относительная частота наступлений некоторого события заключена в промежутке равна

,

где,.

Следствие 3. Вероятность того, что относительная частота наступлений некоторого события отличается от его вероятности не более, чем на величину,по абсолютному значению, равна

,

где.

Пример: Найти вероятности возможного числа мальчиков в семье имеющей пятерых детей, если рождение мальчика и девочки равновероятны.

Эксперимент заключается в случайном выборе ребенка. Это испытание повторяют пять раз (). Пусть интересующее нас событие – выбранный ребенок оказался мальчиком. Из пяти детей число мальчиков может быть равно нулю, одному,…, пяти (,,…,). Так как рождение девочки и мальчика равновероятны, то,. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:

В случае отсутствия мальчиков среди пяти детей:

;

В случае одного мальчика среди пяти детей:

;

В случае двух мальчиков среди пяти детей:

;

В случае трех мальчиков среди пяти детей:

;

В случае четырех мальчиков среди пяти детей:

;

В случае отсутствия девочек среди пяти детей:

.

Пример: Пусть игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти наивероятнейшее число появлений шестерки и вероятность этого числа.

Опыт состоит в бросании игрального кубика. Это опыт повторяется пятнадцать раз (). Интересующее нас событие – выпала шестерка. Очевидно, что,. Из пятнадцати бросков шестерка может появиться от 0 до 15 раз. Наивероятнейшее число появлений шестерки оценим по формуле, откуда или. Единственное целое число из этого промежутка. Таким образом, наиболее вероятно появление шестерок два раза в 15 подбрасываниях игрального кубика. Вероятность этого события определим по формуле Бернулли:

.

Пример: Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений шестерки равнялось 10.

Дата добавления: 2014-10-15