Решение типовых примеров темы

Пример. Случайная величина задана функцией распределения:

Требуется: а) найти плотность вероятности, коэффициент и построить графики соответствующих функций; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины; в) определить вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток.

Решение. Функция является кусочно-дифференцируемой.

а) По определению плотности вероятности, дифференцируя по интервалам ее задания, получаем

.

Постоянную найдем, используя свойство 4 плотности распределения:

,

откуда.

Сроим графики функции и плотности распределения вероятности:

б) Для определения математического ожидания случайной величины воспользуемся соответствующей формулой:. Заметим, что подынтегральная функция – нечетная, а промежуток интегрирования – симметричный относительно нуля, поэтому интеграл, а, следовательно, и. Равенство математического ожидания нулю следует и из симметричности графика плотности вероятности относительно оси ординат.

Найдем дисперсию. Замечаем, что подынтегральная функция – четная, а промежуток интегрирования – симметричный относительно нуля, поэтому

.

в) Вероятность найдем двумя способами:

1) используя свойство 4 функции распределения:

;

2) используя свойство 2 плотности распределения:

.

Пример. Задана непрерывная случайная величина своей плотностью распределения:

.

Требуется: а) определить коэффициент и построить график плотности распределения; б) найти функцию распределения и построить ее график; в) определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины; г) определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал.

Решение. а) Найдем коэффициент:

.

Построим график плотности вероятности случайной величины:

б) Найдем функцию распределения:

1) На участке:.

2) На участке:

3) На участке:

Окончательно получаем.

Построим график функции распределения:

в) Находим числовые характеристики:

.

.

г) Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал:

.

Эту же самую вероятность можно вычислить другим способом:

.

Задача 9.

Решение задачи 9 основано на знание особенностей нормального распределения непрерывных случайных величин. Теоретические основы этого распределения представлены ниже.

Нормальный закон распределения

Нормальным законом распределения (законом Гаусса) непрерывной случайной величины с параметрами и называется распределение, которое описывается плотностью вероятности

.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Кривую нормального распределения называют нормальной или гауссовой кривой.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1. Функция определена на всей числовой оси: R.

2. При всех функция распределения принимает только положительные значения.

3. Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента, значение функции стремится к нулю.

4. Найдем экстремум функции

.

Т.к. при и при, то в точке функция имеет максимум, равный.

5. График функции симметричен относительно прямой, т.к. разность () входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6. Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности

.

При вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. Значение функции в этих точках равно.

7. Построим график функции плотности распределения.

j(x)

x

a + s

a

a – s

j(x)

x

a ₃

a ₂

a ₁

Если, и меняется параметр (), то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы:

Если, и меняется параметр (), то нормальная кривая будет изменять свою форму: кривая становится более плоской при увеличении; и вытягивается вверх, если происходит уменьшение:

j(x)

x

a

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется нормированным. Уравнение нормированной кривой:

.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами и находятся по формулам:

,.

Теорема. Функция распределения непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами и имеет вид

и выражается через функцию Лапласа по формуле:

График функции распределения для нормального закона представлен на рисунке:

F (x)

x

a

Дата добавления: 2014-10-15