Рассмотрим решение типовых задач

Свойства нормально распределенной случайной величины

1. Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в промежуток, равна

.

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от ее математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна

.

3. Практически возможные значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, находятся в пределах промежутка, простирающегося вправо на и влево на от математического ожидания. Это свойство нормально распределенной случайной величины носит название «правило трех сигм»

4. Композиция нормальных законов распределения также имеет нормальное распределение.

Так, если и – независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами, и, соответственно, то их сумма, т.е. случайная величина также нормально распределена с параметрами и.

Пример. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 50 и 2, найти: а) выражение плотности вероятности и функции распределения для размеров костюмов; б) доли костюмов 48 – 50 размеров, которые нужно предусмотреть в общем объеме реализации; в) сформулировать правило «трех сигм» для данной случайной величины.

Решение. Случайная величина – размер костюма – имеет нормальное распределение с параметрами и.

а) По определению нормальной случайной величины, плотность распределения, а по теореме о функции распределения –, где – функция Лапласа. Графики этих функций имеют вид

б) Доля костюмов 48 – 50 размеров в общем объеме реализации определится по свойству 1 нормальной случайной величины как вероятность

.

(Значения функции Лапласа определяем по таблицам).

в) Практически достоверно, что размер мужского костюма заключен в границах от до, т.е.. Вероятность этого события, как отмечалось в свойстве 3 нормально распределенной случайной величины, приблизительно равна 0,9973.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание т. и средним квадратичным отклонением т. Локомотив может везти состав массой не более 6530 т., в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Решение. Так как случайная величина – масса вагона поезда – нормально распределена с параметрами и, то по правилу композиции (свойство 4 нормально распределенной случайной величины) масса всего состава тоже будет распределена нормально с параметрами и. Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого не превзойдет 6530 – 6500 = 30 т. Получаем:.

Задача 10.

Решение этой задачи связано с понятием схемы независимых повторяющихся испытаний, формулы Бернулли и рядом асимптотических формул нахождения вероятностей. Основные моменты этой темы представим здесь.

Повторение испытаний. Схема Бернулли

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при одних и тех же условиях, в которых представляет интерес вероятность наступления некоторого события в случаях из испытаний. Обычно число называют числом успехов в испытаниях. Например, необходимо определить вероятность двукратного выпадения решки () при трехкратном подбрасывании монеты ().

Если вероятность наступления события в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события. Если независимые повторные испытания проводятся без изменения первоначальных условий, то вероятность наступления события в каждом испытании одна и та же. Описанная модель называется вероятностной схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.

Пусть – вероятность того, что событие наступило ровно раз в испытаниях.

1. Формула Бернулли

Теорема. Вероятность наступления события раз в испытаниях вычисляется по формуле:

,

где.

Данная формула носит название формулы Бернулли. В развернутой форме она имеет вид:

.

Следствие. Если требуется вычислить вероятность наступления некоторого события от до раз в независимых испытаниях, то применяют следующую формулу

.

Число, обладающее, по крайней мере, не меньшей вероятностью среди других событий при любом, называется наивероятнейшим числом наступлений события в независимых испытаниях.

В рассмотренном примере вероятнее всего среди пятерых детей ожидать двух или трех мальчиков.

Теорема. Для определения наивероятнейшего числа наступлений события в независимых испытаниях, в которых наступает с вероятностью, имеет место формула:

.

2. Формула Пуассона

Теорема. При больших и малых справедливо приближенное равенство

,

где.

Данное равенство носит название приближенной формулы Пуассона. Эта формула дает хорошее приближение к точному значению, если.

Значение величин имеются в таблицах

Для вычисления вероятности в случае большого числа испытаний помимо формулы Пуассона используют приближенные формулы Муавра – Лапласа.

3. Локально приближенная формула Муавра ­– Лапласа

Теорема. При больших справедливо приближенное равенство

,

где,.

Данная формула носит название локальной формулы Муавра – Лапласа. Она дает хорошее приближение при.

Функция, входящая в эту формулу, называется функцией Гаусса. Для упрощения расчетов, связанных с применением этой функции, составлена таблица. Пользуясь этой таблицей, следует иметь в виду следующие свойства функции:

ü Функция является четной, т.е..

ü Функция – монотонно убывающая при, причем при.

Дата добавления: 2014-10-15