Решение. Опыт заключается в последовательном извлечении двух карандашей из коробки

Решение.

Опыт заключается в последовательном извлечении двух карандашей из коробки.

а) Пусть событие A – первый раз извлечен простой карандаш, B – второй раз достали цветной карандаш. После первого извлечения в коробке из 12 карандашей осталось 7 цветных, а всего 11, и, следовательно, искомая вероятность.

б) Пусть первый раз наступило событие – извлечен цветной карандаш, B – второй раз достали цветной карандаш. После первого извлечения в коробке из 12 карандашей осталось 6 цветных, а всего 11, и, следовательно, искомая вероятность.

В приведенном примере события A – первый раз извлечен простой карандаш и B – второй раз достали цветной карандаш являются зависимыми, так как наступление или ненаступление первого события влечет за собой изменение вероятности другого. Эти же события будут независимыми, если изменить испытание и после первого выбора карандаша возвращать его обратно в коробку. В этом испытании, т.е. вероятность события будет безусловной.

Пример: Вероятность того, что студент сдаст экзамен по экономической теории, равна 0,8; по математике – 0,7; по духовной культуре – 0,9. Найти вероятности того, что студентом будут сданы: а) только экзамен по математике; б) только один экзамен; в) по крайней мере два экзамена; г) хотя бы один экзамен.

Испытание заключается в сдаче студентом трех экзаменов. Рассмотрим три события: – студент сдал экзамен по экономической теории, – студент сдал экзамен по математике, – студент сдал экзамен по духовной культуре. Отметим, что все три события независимы друг от друга – вероятности этих событий безусловны и заданы в условии задачи:,,.

а) Пусть событие – студент сдал только экзамен по математике. Это означает, что первый и третий экзамены он не сдал, т.е.. Учитывая независимость событий, получаем.

б) Пусть событие – студент сдал только один экзамен. Это означает, что студент сдал какой-то один экзамен (по экономической теории или по математике, или по духовной культуре), причем остальные два он не сдал, т.е.. Учитывая, что каждое слагаемое является событием несовместным с остальными двумя, а события, входящие в произведения – независимые, то по теореме сложения несовместных событий и по теореме умножения независимых событий, получаем

.

в) Пусть событие – студент сдал по крайней мере два экзамена. Это означает, что сдал два любые (и не сдал один) или сдал все три экзамена, т.е.. Все слагаемые – события несовместные, все множители– события независимые, поэтому

.

г) Пусть событие – студент сдал хотя бы один экзамен. Здесь удобно перейти к противоположному событию – студент не сдал все три экзамена, т.е. не сдал по экономической теории и не сдал по математике, и не сдал по духовной культуре, поэтому. Все события, входящие в произведение являются независимыми, поэтому. По следствию 3 из теоремы о сумме вероятностей.

Пример: Из полной колоды карт (52 листа) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червовая карта.

Дата добавления: 2014-10-15