Решение. Решение типовых примеров по данной теме

Решение типовых примеров по данной теме

Пример: На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?

Решение. Испытание состоит в выборе для контрольного вскрытия двух вагонов из десяти. Общее число таких выборов (комбинаций) (каждая комбинация отличается только набором 5 номеров из 10 и не зависит от порядка выбора этих номеров). Пусть событие A – среди выбранных для проверки пяти вагонов оказались вагоны с номерами 2 и 5. Число исходов, благоприятствующих A, будет равно числу таких комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут произвольные. Число таких исходов по правилу произведения будет равно (вагоны с номерами 2 и 5 можно выбрать одним способом, при каждом таком выборе другие 3 вагона могут быть выбраны способами). Согласно классическому определению, искомая вероятность найдется по формуле

.

Пример: Два приятеля условились встретиться у кинотеатра «Россия», договорившись только о том, что каждый является туда в момент времени между 18 и 19 часами и ждет в течение 15 минут. Если один из друзей к этому времени еще не пришел или уже успел уйти, встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.

y

O

x

B

C

D

G

g

1/4

1/4

Решение. Обозначим моменты прихода друзей к кинотеатру для одного – x, для другого– y. Введем в рассмотрение прямоугольную декартову систему координат, в которой за начало отсчета возьмем 18 часов, а за единичный отрезок – 1 час. По условию,. Эти неравенства определяют фигуру G (множество всевозможных исходов испытания) и задают на координатной плоскости единичный квадрат OBCD. Событие A – встреча двух приятелей – произойдет, если разность между x и y не превзойдет четверти часа (по абсолютной величине), т.е.. Решением последнего неравенства есть полоса, которая внутри квадрата представляет фигуру g (множество благоприятных для события A исходов). По формуле геометрической вероятности, получаем

,

так как площадь области g равна площади квадрата G без суммы площадей двух угловых треугольников.

Пример: Какова вероятность, что при случайном расположении кубиков, на которых написаны буквы С, И, М, Ь, Л, У, П получится слово а) «ИМПУЛЬС»; б) «ПУЛЬС».

а) Опыт заключается в составление слова из семи букв. Различные комбинации семи букв из имеющихся семи представляют собой перестановки, так как отличаются только порядком следования букв; т.е. общее число исходов.

Пусть событие A – получение слова «ИМПУЛЬС». Этому событию благоприятствует только исход. Поэтому.

б) Испытание заключается в составление слова из пяти букв. Различные комбинации пяти букв из имеющихся семи могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. представляют собой размещения без повторений, их число. Пусть событие B – получение слова «ПУЛЬС». Этому событию благоприятствует только исход. Поэтому.

Пример: Какова вероятность, что при случайном расположении кубиков, на которых написаны буквы О, О, О, М, Л, Т, К получится слово «МОЛОТОК»?

Решение. Эксперимент заключается в составление слова из семи букв. Пусть событие A – получение слова «МОЛОТОК». Так же, как и в предыдущем примере, общее число исходов, но теперь событию A благоприятствуют существенно больше, поскольку буква «О» повторяется. Число благоприятных исходов равно числу перестановок трех букв «О», т.е.. Поэтому.

Замечание. Задачу можно решить иначе, рассматривая комбинации букв как перестановки с повторениями, из которых событию A благоприятствует только одно:.

Пример: В лифт 9-этажного дома входят четыре человека. Какова вероятность того, что они выйдут: а) на разных этажах; б) на одном этаже?

Дата добавления: 2014-10-15