Решение ключевых задач темы

Пример. Решить уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни. Общее решение уравнения можно записать в виде.

Пример. Решить уравнение при начальных условиях. Характеристическое уравнение имеет корни, следовательно,. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде, т. к. не является корнем характеристического уравнения, поэтому, а следовательно,. Далее имеем. Подставляя в исходное уравнение, получим

.

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях тождества, найдем. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид. Постоянные и находим из начальных условий:

или.

Тогда.

Пример. Решить уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни. Следовательно, ¾ общее решение однородного уравнения. Правую часть нужно разбить на 2 слагаемых: и. Для первого частное решение ищем в виде, (т. к. ¾ не корень характеристического уравнения, то) и для второго ¾ в виде. Для имеем тогда.

Для имеем. Частное решение неоднородного уравнения будет таким: и общее решение данного уравнения.

Задача 6.

Решение задача 6 относится к материалу темы линейные разностные уравнения второго порядка. Краткие сведения сформулируем ниже.

Разностные уравнения.

Уравнение вида:

(1)

где k -фиксированное, а i - произвольное натуральное число, – члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением k-го порядка .

Решить разностное уравнение означает найти все последовательности { }, удовлетворяющие уравнению (1).

Разностное уравнение часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Разностное уравнение вида:

(2)

где – некоторые функции от i,называется линейным разностным уравнением k- порядка.

В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Продемонстрируем это для разностных уравнений 2-го порядка:

(3)

также как для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1.3) определяется по формуле:

где – некоторое частное решение (3), – общее решение соответствующее однородному уравнению (случай =0). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо вначале решить характеристическое уравнение:

после этого могут возникнуть 3 варианта.

1) Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле:

где и - произвольные константы.

2) Оба корня действительны и равны (), тогда

3) В случае комплексно сопряженных корней

Пример. Найти общее решение линейного неоднородного разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решая характеристическое уравнение, находим, поэтому.

Найдем частное решение этого уравнения. Воспользуемся для этого методом неопределенных коэффициентов.Будем искать частное решение в виде Подставляя это выражение в наше уравнение, получим или, откуда получаем, что. Общее решение однородного уравнения имеет вид.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

Задача 7.

Задача 7 относится к классу задач по элементарной теории вероятностей, где используются понятия случайных событий, вероятности, теоремы сложения, умножения вероятностей и некоторые следствия из этих теорем. Приведем эти и некоторые другие факты ниже.

Элементы комбинаторики.

Понятие о комбинаторной задаче. Основной задачей комбинаторного анализа является задача подсчета количества конечных множеств с определенными свойствами. Элементы этих множеств образуют комбинации спе­циального вида, число таких комбинаций и необходимо найти. Задачи подобного типа обычно называют комбинаторными, а раздел математики, который занимается их решением, комбинаторикой.

Нередко элементы нужных множеств выбираются из данного конечного множества. Поэтому многие комбинаторные объекты называют выборками.

Решение многих комбинаторных задач основывается на двух простых, но важных теоремах, называемых правилами суммы и произведения.

Правило суммы. Если объект A можно выбрать m различными способами, а объект B другими n способами, причем выборы объектов A и B несовместны, то выбор какого-нибудь одного из этих объектов (A или B) может быть осуществлен m + n способами.

Правило произведения. Если объект A можно выбрать m способами и после каждого из этих выборов объект B можно выбрать n способами, то выбор упорядоченной пары (A, B) может быть осуществлен m × n способами.

Правило суммы и произведения можно обобщить на случай нескольких попарно непересекающихся множеств.

Комбинации элементов данного множества, которые необходимо подсчитать при решении комбинаторной задачи, часто называют выборками (из этого множества). Рассмотрим основные виды таких выборок.

Размещения с повторениями (выборки с возвращением).

Пусть множество содержит n элементов.

Размещением с повторениями из п элементов по m называется упорядоченный набор длины m, составленный из элементов п – элементного множества.

Число всевозможных размещений с повторениями из п элементов по m обозначается и подсчитывается по формуле:

Отметим, в случае размещений с повторениями может выполняться любое из соотношений: m < п, m = п или m > п.

Размещения без повторений (выборки без возвращения).

Размещением без повторений из n элементов по m называется упорядоченный набор длины m, составленный из попарно различных элементов n -элементного множества.

Заметим, что здесь обязательно должно выполняться условие: m ≤ п. Иначе (если m > п) невозможно составить упорядоченный набор длины m, в котором элементы не повторяются.

Число всевозможных размещений без повторений из п элементов по m обозначается символом и подсчитывается по формуле

,

где (читается "эн - факториал"). Таким образом, n! - произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Кроме того, по определению считают, что 1! = 1 и 0! = 1.

Перестановки. Это частный случай размещений без повторе­ний из n элементов по m при n = m.

Перестановкой без повторений из n элементов называется раз­мещение без повторений из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается. По опреде­лению перестановок из n элементов их число, то есть

Перестановки с повторениями. Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n ₁ раз, 2-й элемент – n ₂ раз,…, k -й элемент – n _k раз, причем n ₁ + n ₂ +…+ n _k= n, то такие перестановки называются перестановками с повторениями из n элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов обозначается и подсчитывается по формуле

.

Сочетания без повторений (неупорядоченные выборки).

Сочетанием из n элементов по m называется любое m - элемент­ное подмножество n - элементного множества.

Cочетания из n элементов по m называют еще неупорядоченными выборками.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается и вычисляется по формуле

.

Числа обладают рядом свойств.

ü при любом n;

ü при любом n;

ü;

ü;

ü при;

Числа называются биномиальными коэффициентами, т.к. они участвуют в записи известной формулы бинома Ньютона:

.

Сочетания с повторениями. Если в сочетаниях n элементов по m некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называют сочетаниями с повторениями из n элементов по m. Число сочетаний с повторениями n элементов по m обозначается и подсчитывается по формуле

.

Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности

1. Виды событий

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия элементарного события и понятие пространства элементарных событий.

Под событием мы понимаем появление или непоявление того или иного исхода испытания.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

Множество S, каждому элементу которого соответствует один исход испытания, называют пространством элементарных событий.

Подмножество пространства элементарных событий называют случайным событием. Это событие в результате испытания может произойти или не произойти (выпадение четырех очков при бросании игральной кости, дождь на улице в данную минуту, выигрыш в лотерею и т.д.).

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С….

Если при каждом испытании, при котором происходит со­бытие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В (является частным случаем В)или В включает событие А, и обозначают АÌ В. Напри­мер, если событие А – изделие 1-го сорта, В – изделие 2-го сорта, С – изделие стандартное, то АÌ С и ВÌ С.

Если одновременно АÌ В и ВÌ А, то в этом случае события А и В называют равносильными и обозначают А = В.

События называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными (совместимыми). Например, «выпадение орла» и «выпадение решки» при однократном подбрасывании монеты – события несовместные, а «выпадение трех очков» и «выпадение нечетного числа очков» при бросании игрального кубика – события совместные. Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» — события несовместные, а получение тех же оценок на экзаменах по трем дисциплинам — события совместные.

Событие называется достоверным (обозначаем буквой W), если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным (обозначаем символом Æ), если в результате испытания оно вообще не может произойти. Например, если в коробке все карандаши простые, то извлечение из нее простого – событие достоверное, а извлечение при тех же условиях цветного карандаша – событие невозможное.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт либо появление герба или решки при подбрасывании монеты – события равновозможные. Так, если монета «правильная», выполнена симмет­рично, то нет никаких оснований считать «появление герба» при подбрасывании монеты событием объективно более воз­можным, чем «появление решки».

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них. Например, события, состоящие в том, что в семье из двух детей: А – «два мальчика», В – «один мальчик, одна девочка», С – «две девочки» – являются единственно воз­можными.

Говорят, что события образуют полную группу событий, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Элементарными событиями называют равновозможные исходы, составляющие полную группу событий.

Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Событие, противоположное событию А, будем обозначать.

Предметом теории вероятностей являются свойства вероятностей. Теория вероятностей позволяет находить вероятности одних случайных событий по известным вероятностям других случайных событий, связанных некоторым образом с первыми. Для этого необходимо определить, какими операциями они между собой связаны.

2. Операции над событиями

A+B

W

B

А

1. Событие C=A + B, называемое суммой A и B, происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или в B.

W

AB

A

B

2. Событие C=AB, называемое произведением A и B, происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B.

B

W

А

A-B

3. Разностью событий A и B называется событие C=A–B, которое происходит, еслисобытие A произойдет, а событие B не произойдет.

3. Вероятность

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события: «выпадение дождя» и «выпадение снега» в первый день зимы в городе N, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому из 100 приобретенных билетов» телелотереи «Русское лото» – обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для их сравнения нужна определенная мера.

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.

Это определение не дает алгоритма непосредственного вычисления вероятности того или иного события. Существует несколько подходов для количественного определения вероятности.

Статистический подход.

Пусть проводится n испытаний. Число m наступлений некоторого события А в этих испытаниях называется абсолютной частотой события А, а отношение m / n – относительной частотой (частостью). Таким образом, относительная частота равна отношению m / n числа m тех испытаний, при которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Ясно, что

.

Наличие у события А определенной вероятности, равной p, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний относительная частота события А приблизительно равна p:

.

Например, при многократном подбрасывании монеты относительная частота выпадения орла почти всегда близка к 1/2. Считая, что монета симметрична, полагают вероятности выпадения орла или решки одинаковыми, то есть равными 1/2.

Естественно считать, что вероятность удовлетворяет требованию.

Классический подход.

Будем предполагать, что при каждом испытании единственно возможны n событий E ₁, E ₂,..., E _n (n ≥ 2), которые являются элементарными. Пусть нас интересует вероятность события А, состоящего в появлении одного из элементарных событий E _i(1), E _i(2),..., E _i(m), которые будем называть исходами, благоприятствующими событию А.

Классическое определение вероятности. Вероятность события А равна отношению числа m исходов, благоприятствующих событию А, к общему числуn всех исходов:

.

При этом считается, что исходы являются элементарными.

Геометрический подход.

x

y

g

G

Геометрический подход в двумерном случае можно описать следующим образом. Пусть фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если вероятность попадания этой точки на фигуру g пропорциональна площади множества и не зависит от расположения и формы фигуры g, то вероятность попадания точки на фигуру g полагают равной отношению площадей этих фигур:

.

Вероятность, найденная по этой формуле называется геометрической вероятностью.

Аналогичным образом определяется геометрическая вероятность в одномерном (на прямой) и трехмерном (в пространстве) случаях. В первом случае вероятность – это отношение длин отрезков, а во втором – отношение объемов пространственных тел.

4. Свойства вероятности

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

3. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

Теоремы сложения и умножения

Сформулируем правило сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий,,…, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 2. Если события,,…, образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Последняя формула оказывается полезной, когда вероятность противоположного события вычислить проще, чем вероятность события.

Сформулируем теперь правило сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

.

Следствие. Для вероятности суммы нескольких совместных событий справедлива формула

.

События и называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, наступило другое событие или нет, иначе события и называются зависимыми.

Вероятность события B, вычисленная при условии, что имело место другое событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается.

Сформулируем теорему умножения вероятностей для зависимых событий

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

.

Эта теорема легко обобщается на случай любого конечного числа событий.

Теорема. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли:

.

Следствие. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

.

Для событий, имеющих одинаковую вероятность, последняя формула принимает вид:

,

где.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть некоторое событие может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез), образующих полную группу событий и пусть известны вероятности этих событий, а также условные вероятности события:. В этом случае справедлива

Теорема. Полная вероятность события, которое может произойти вместе с одним из событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события.

Данная формула носит название формулы полной вероятности.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса. Она позволяет оценить вероятности гипотез во всех испытаниях, где наступает событие, т.е. зная вероятности гипотез до испытания, можно произвести их переоценку после получения дополнительной информации о том, произошло или не произошло событие.

Теорема. Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и, то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:

.

Дата добавления: 2014-10-15