Предел функции

Шишкина Светлана Ивановна

Станцо Виталий Владимирович

Дьякова Людмила Николаевна

Дубограй Ирина Валерьевна

Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Станцо В.В., Шишкина С.И.

Электронное учебное издание

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Станцо В.В., Шишкина С.И.

Методические указания к выполнению домашних заданий

Москва

УДК 517.51

Рецензент: доц., к.ф.-м.н., Маргарита Михайловна Сержантова

Предел функции: электронное учебное издание. - М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2013. 86 с.

Издание содержит теоретический материал, охватывающий основные определения и теоремы, рассмотрены основные методы вычисления пределов функций, подробно рассмотрены те вопросы, которые обычно вызывают трудности при изучении соответствующего раздела математики. Даны подробные решения задач со ссылками на нужные формулы, предлагаются задачи для самопроверки, а также задачи для самостоятельного решения.

Издание может быть использовано для дистанционного обучения.

Для студентов МГТУ имени Н.Э. Баумана всех специальностей.

Электронное учебное издание

© 2013 МГТУ имени Н.Э. Баумана

Глава 1. Предел последовательности

1.1 Понятие числовой последовательности

Числовая последовательность – это функция натурального аргумента

Ее графиком на плоскости XOY является множество изолированных точек, абсциссы которых есть натуральные числа

То есть, числовая последовательность представляет собой бесконечное мно-жество чисел, связанных общим законом, который задается общим элементом.

Пример 1. Дана функция натурального аргумента. Вычислим несколько первых ее значений.

Решение. Зададим конкретное значение аргумента n и подставим его в выражение.

При n=1 получим, при n=2, при n=3 и т.д. Например, при n=10 получим.

Последовательности, описываемые простыми правилами, удобно задавать перечислением начальных членов.

Пример 2. Задано несколько элементов числовой последовательности:.

Найдем выражение общего элемента как функции аргумента n.

Решение. Легко заметить, что при n = 1, 2, 3 Чередование знаков: минус, плюс, минус и т.д. – описывается с помощью множителя.

Окончательно получаем ответ:.

Запомните, что чередование знаков плюс, минус, плюс и т.д. – описывается с помощью множителя. Последовательность четных чисел можно записать как 2n, нечетных – как (2n-1),.

1.2 Предел числовой последовательности

Как ведет себя последовательность при росте n? Следующие три примера показывают, что имеется три принципиально различных типа поведения.

Первый из них:. Вычислим несколько первых элементов этой последовательности и проанализируем, как они изменяются с ростом номера n.

При n=1, при n=2, при n=3, при n=4, при n=5 и т.д.

Очевидно, что чем больше номер n, тем больше значение.

Нетрудно заметить, что, и при очень больших n поведение похоже на поведение последовательности n -1.

Вывод: при. (См. рис.1)

Рис.1

Рассмотрим теперь вторую последовательность, где. Другими словами, это: -1, 1, -1, 1, … Последовательность колеблется, оставаясь ограниченной.

Контрольный вопрос. Нарисуйте график последовательности.

Последовательности, которые ведут себя, как или, называются расходящимися.

Наконец, рассмотрим третью последовательность, где. Вычислим несколько первых ее элементов.

При n =1, при n =2, при n =3, при n =4, при n =5 и т.д.

Очевидно, что чем больше номер n, тем значение меньше, и при возрастании n эти значения становятся все ближе к числу 0. (См. рис.2)

Рис.2

Последовательность, у которой все элементы с достаточно большими номерами приближенно равны одному и тому же числу, называется сходящейся. Число, к которому приближаются значения элементов последовательности при возрастании номера n, называется пределом этой последовательности.

Следующее определение формализует понятия «приближенно равны» и «достаточно большие номера».

Определение 1. Число А называется пределом числовой последовательности, то есть, если для любого, сколь угодно малого, найдется такой номер, что для всех будет выполняться неравенство.

В логических символах определение 1 можно записать следующим образом:

:.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела – расходящейся.

Рассмотрим графическую иллюстрацию определения 11 (См. рис.3).

Рис.3

На оси ординат выбрана произвольным образом -окрестность точки А. [1] На координатной плоскости ей соответствует заштрихованная полоса шириной.

Точки с ординатами при возрастании номера n располагаются все ближе к прямой. И для любого найдется такой номер N, что все точки, соответствующие элементам последовательности с, окажутся внутри заштрихованной полосы. Обозначение N (ε) подчеркивает, что выбор номера N зависит от выбора числа ε.

Напомним, что на рис.1 изображены элементы расходящейся последовательности. Нетрудно убедиться, что в этом случае при любом предположительно выбранном А, и для любых и N, найдется бесконечно много точек, оказавшихся вне соответствующей полосы шириной при.

Пример 3. Найдем число А, являющееся пределом числовой последовательности с общим элементом, и пользуясь определением, убедимся в правильности ответа.

Решение. Вычислим несколько первых элементов данной последовательности:

Проанализировав результат, видим, что элементы при больших значениях n увеличиваются и все они ограничены так, что.Появилось предположение, что искомое число А равно 2.

С другой стороны, можно тождественно преобразовать следующим образом:

.

Теперь очевидно, что при возрастании номера дробь уменьшается и при она стремиться к нулю. В таком случае, при достаточно больших значениях n элементы последовательности приближаются к числу 2, то есть искомый предел А =2, или.

Докажем, что это действительно так, пользуясь определением 1 предела числовой последовательности.

Число А =2 будет пределом данной последовательности, т.е., если для любого найдется такой номер N (ε), что для всех будет выполняться неравенство.

Вопрос заключается в том, найдется ли номер N (ε), необходимый для выполнения последнего неравенства?

Преобразуем это неравенство следующим образом, учитывая, что n +1>0:

В итоге получаем. Именно для таких номеров n выполняется неравенство, следующее из определения 1.

При ε≥1 возьмем N (ε)=1. Если ε∈(0;1), то в качестве номера N (ε) выберем целую часть числа. (В частности, если выбрать, то номер, а если, то.)

И теперь видим, что для любого можно найти такой номер N (ε), что для всех n > N (ε) будет выполняться неравенство. Таким образом, из определения 1 для данной последовательности следует, что ее пределом является число А =2.

Угадать значение предела А и аккуратно проверить выполнение определения 1 можно только в тех случаях, когда последовательность задана простейшими формулами. В более сложных примерах применяются правила вычисления пределов, которые подробно рассмотрены в главе 3. Некоторые из этих правил использованы в решении следующего примера.

Пример 4. Выясним, является ли сходящейся последовательность с общим элементом.

Решение. Числовая последовательность является сходящейся, если существует предел.

Чтобы вычислить этот предел или убедиться в том, что он не существует, преобразуем тождественно следующим образом:

т.к. очевидно, что при дробь.

Ответ: данная числовая последовательность сходится к пределу А =1/2.

1.3 Число е

Вычислим (с помощью компьютера или калькулятора) значения элементов последовательности при некоторых n.

n
an		2,25	2,37037	2,44140	2,48852	2,59374	2,60420	2,61303
n
an	2,70468	2,70481	2,71456	2,71692	2,71814

Мы видим, что, во-первых, эта последовательность возрастает. Во-вторых, рост постепенно замедляется, и даже при очень больших n элементы последовательности не превосходят числа 2,72.

Можно строго доказать (см., например [1]), что данная последовательность сходится. Ее предел называется эйлеровым числом, или числом е, в честь математика Л.Эйлера (1707-1783).

Число е – иррациональное. Мы ограничились пятью цифрами после запятой в его разложении в бесконечную десятичную дробь.

Роль числа е и в математической теории, и в прикладных расчетах колоссальна. Например, рассмотрим процесс роста банковского вклада. Банк устанавливает по вкладам годовую ставку Р % и выплачивает проценты n раз в году. Если начисленные в середине года проценты присоединяются ко вкладу, и на них тоже начисляются проценты (так называемые сложные проценты), то к концу года первоначальная сумма вклада увеличится в раз. Нетрудно заметить сходство этой формулы с формулой из определения числа е. Позже мы покажем (см. далее пример 25 и замечание к нему), что.

На практике это означает, что при достаточно частых выплатах (например, при ежемесячных, т.е. при n =12) рост вклада за год легко рассчитать умножением первоначальной суммы на, делая при этом очень незначительную ошибку. Дальнейшее увеличение периодичности выплат (банк мог бы выплачивать проценты не ежемесячно, а ежедневно) не приведет к существенному увеличению дохода вкладчика.

Натуральный логарифм. Логарифм числа b >0 по основанию е называется натуральным логарифмом, и для него используется специальное обозначение[2].

Задачи для самостоятельной работы

1. Даны несколько первых элементов числовой последовательности. Составьте выражение общего элемента.

а) Ответ:

б) Ответ:.

2. Пользуясь определением 1, докажите, что число является пределом числовой последовательности с заданным общим элементом. Найдите номер, если.

а),. Ответ:.

б),. Ответ:.

3. Банк выплачивает проценты ежемесячно. Какой должна быть номинальная процентная ставка, чтобы первоначальный вклад увеличился к концу года в С раз?

Ответ: P ≈ 100 ln C (приближенно);

(точно).

Глава 2. Предел функции

2.1 Окрестность точки

Рассмотрим на числовой оси ОХ точку с координатой.

Определение 2. Окрестностью точки а радиуса δ (или δ -окрестностью точки а) называется множество точек оси ОХ, расстояние от которых до данной точки меньше δ.

Высказывание: «Точка х лежит в δ-окрестности точки а» можно записать с помощью математической символики следующими четырьмя равносильными способами.

1)

2) x ∈U_δ(a)

3),

4), Рис.4

Если точка а исключается из своей окрестности, то окрестность называется проколотой. Точка х лежит в проколотой δ-окрестности точки а тогда и только тогда, когда. С помощью значков теории множеств это обозначается как x ∈Ů_δ(a).

Рис.5

Рассмотрим теперь «точку, бесконечно удаленную от начала координат».

Определение 3. Окрестностью радиуса бесконечно удаленной точки, принадлежащей оси ОХ, называется множество точек этой оси, расстояние от которых до начала координат больше.

Проколотая δ-окрестность для бесконечно удаленной точки совпадает с непроколотой. Попадание точки х в эту окрестность можно задать одним из следующих способов.

1),

2) x ∈U_δ(∞),

3),

4), Рис.6

Как видим из рис.6, бесконечно удаленная точка содержит два варианта, при которых точка может оказаться в ее окрестности. Это возможно при и при.

Аналогичным образом можно рассматривать окрестности точек (в том числе, бесконечно удаленной точки) на оси ОУ.

2.2 Предел функции при xàa

Рассмотрим несколько случаев поведения функции в окрестности точки.

1) функция определена в точке и (рис.7),

2) функция не определена в точке (рис.8),

3) функция определена в точке и (рис.9).

Рис.7 Рис.8 Рис.9

Во всех рассмотренных случаях, а функция, что можно записать как.

Поведение всех графиков таково, что чем меньше х отличается от а, тем значение функции ближе к числу А. Однако, поведение функции при не является существенным. Этот факт можно сформулировать следующим образом.

Определение 4. Число называется пределом функции при, если для любого найдется, такое что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Другими словами, если аргумент х принадлежит проколотой 𝛅-окрестности точки а на оси ОХ, то значение функции f (x) принадлежит 𝛆-окрестности точки A на оси ОУ.

Геометрическая иллюстрация определения 4 представлена на рис.10.

Рис.10

Пояснения к рис.10

На оси ОУ строим окрестность точки произвольного радиуса. Прямые и пересекают график функции в точках с абсциссами и. Выберем наименьшее из чисел и и обозначим его как. Очевидно, что зависит от. Если уменьшить ε, то уменьшится и δ. Выбор фиксирует на оси ОХ -окрестность точки. И если, то взяв любой, получим значение функции, которому будет соответствовать точка на оси ОУ, обязательно принадлежащая -окрестности точки.

Отметим, что описанный выше способ выбора не является единственно возможным: всегда можно изменить в меньшую сторону. Такой подбор «с запасом» иногда позволяет обойти трудности, связанные с точным решением неравенства относительно х.

Определение 4 можно записать в символах одним из следующих способов.

· ∀ε>0 ∃δ>0: 0<| x - a |<δ ⇒ | f (x)- A |<ε.

· ∀ε>0 ∃δ>0: x ∈Ů_δ(a) ⇒ f (x)∈U_ε(A).

Замечание 1. Все определения предела функции (как уже сформулированное определение 4, так и последующие) состоят из двух частей: внутренней и внешней. Внутренняя часть (синий цвет) описывает поведение аргумента функции, внешняя часть (красный цвет) – поведение значений функции.

2.3 Предел функции при xà∞

Если существует число, которое является пределом функции при, то это означает, что чем больше, тем значения функции меньше отличаются от этого числа.

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции, а затем сформулируем его определение.

Рис.11

Так же как в предыдущем случае построим -окрестности точки на оси ОУ, выбрав произвольно. Прямые и пересекают график функции в точках с абсциссами и. Выбрав наибольшее из чисел и, обозначим его как, которое, конечно, зависит от заданного.

На рис.11.

Таким образом, задав, мы нашли соответствующую ему -окрестность бесконечно удаленной точки. И теперь, чем значение х ближе к бесконечности, тем меньше (т.е. различие между f (x) и числом A).

Здесь, как и в предыдущем случае, возможен подбор δ «с запасом»; однако, изменения δ допустимы не в меньшую, а в большую сторону.

Определение 5. Число называется пределом функции при, т.е., если для любого найдется, такое что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Или в символах:

· ∀ε>0 ∃δ>0: | x |>δ ⇒ | f (x)- A |<ε.

· ∀ε>0 ∃δ>0: x ∈Ů_δ(∞) ⇒ f (x)∈U_ε(A).

Пример 5. Докажем, пользуясь определением, что.

Решение. По определению 5, если для любого найдется, такое что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство, т.е..

Последнее неравенство равносильно неравенству. Теперь очевидно, что требуемое по определению 5 неравенство будет выполняться, если. То есть соответствующее нашлось.

Так например, если, то и при выполняется неравенство.

А если, то и только при.

И какое бы малое мы ни выбрали, найдется такое, что для всех, удовлетворяющих условию, соответствующие им значения функции будут отличаться от меньше, чем на, что и требовалось доказать.

Функции, имеющие предел 0, – важнейший частный случай функций, имеющих конечный предел. Такие функции называются бесконечно малыми.

2.4 Бесконечный предел функции

Примером функции, имеющей бесконечный предел в точке, может служить дробно-рациональная функция, у которой и Простейший пример: f (x)=1/ х при x à0 (но не x à∞, как это было в примере 5!)

Запись означает в этом случае, что чем ближе значение аргумента х к а, тем функция все более возрастает (по модулю) и, какое бы большое число мы ни задали, в процессе изменения его превзойдет.

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции, а затем сформулируем его определение.

Так как при стремится к бесконечности, зададим сколь угодно большое и отметим его на оси ОУ, построив тем самым -окрестность бесконечно удаленной точки на оси ОУ.

Рис.12

Построим график функции и найдем точки его пересечения с прямой. На оси ОХ им соответствуют точки.Выбирая наименьшее из чисел и, обозначим его как.Очевидно, что зависит от. Выбор фиксирует на оси ОХ -окрестность точки. И если (о знаке бесконечности пока не говорим), то любому значению х из проколотой -окрестности точки а будет соответствовать значение функции такое, что.

Если, то говорят, что функция является бесконечно большой при. (Т.е., бесконечно большая функция – то же самое, что и функция, имеющая бесконечный предел.)

Определение 6. Функция является бесконечно большой при, если для любого найдется, такое что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

В символах это определение можно записать следующим образом.

· ∀ε>0 ∃δ>0: 0<| x - a |<δ ⇒ | f (x)|>ε.

· ∀ε>0 ∃δ>0: x ∈Ů_δ(a) ⇒ f (x)∈U_ε(∞).

Учитывая опыт рассмотренных случаев различного поведения функции, сформулируем теперь определение бесконечного предела функции при..

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции.

Рис.13

Построим график функции и, так как, выберем сколь угодно большое число, задав таким образом -окрестность бесконечно удаленной точки на оси ОУ. Прямая пересекает график функции в точках с абсциссами и. Выбрав наибольшее из чисел и, обозначим его как, которое, конечно, зависит от заданного. Таким образом, задав, мы нашли соответствующую ему -окрестность бесконечно удаленной точки. И если, то для любой точки x ∈Ů_δ(∞), значение функции окажется больше выбранного.

Определение 7. Функция является бесконечно большой при, если для любого найдется, такое что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Или в символах.

· ∀ε>0 ∃δ>0: | x |>δ ⇒ | f (x)|>ε.

· ∀ε>0 ∃δ>0: x ∈Ů_δ(∞) ⇒ f (x)∈U_ε(∞).

Замечание 2. Пользуясь условной записью, можно дать обобщенное определение предела функции, которое отражает все рассмотренные случаи поведения функции в окрестности конечной или бесконечно удаленной точки.

Обобщенное определение.

∀ε>0 ∃δ>0: x ∈Ů_δ(∗) ⇒ f (x)∈U_ε(∗∗)

Замечание 3. Существуют функции, вообще не имеющие пределов при данном стремлении – ни конечных, ни бесконечных. Примерами могут служить хорошо известные тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x – при x à∞.

Задачи для самостоятельной работы

В каждом из следующих примеров число 0 или 1 является пределом данной функции при данном стремлении. Выберите верный вариант и обоснуйте его, пользуясь соответствующим определением предела. (Т.е. укажите формулу для вычисления δ(ε).)

а) Ответ:.

б) Ответ:.

в) Ответ: «с запасом».

г) Ответ: и не зависит от ε

Напоминание: [ z ] – целая часть числа z, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее z.

Глава 3. Вычисление пределов

3.1 Некоторые теоремы о пределах и непрерывности функции

Все теоремы данного подпункта сформулированы для пределов функций. Однако, теоремы 1 и 3 верны и для последовательностей при n à∞.

Мы ограничимся теоремами, которые позволят нам начать знакомство с техникой вычисления пределов. Разумеется, они не охватывают всего круга теорем о пределах и непрерывности, входящих в курс математического анализа.

Теорема 1. Если существуют конечные пределы и, то

Определение (VIP). Функция называется непрерывной в точке если она определена в точке.

Теорема 2. Любая элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения.

Теорема 3. Пусть и функция непрерывна в точке. Тогда.

3.2 Некоторые формулы и приемы элементарной математики, используемые при вычислении пределов

Дата добавления: 2014-10-15