Правило 1

Если при х à∞ возникла неопределенность, необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобку х в максимальной степени (если это возможно) и сократить дробь.

Пример 8. Вычислим.

Решение. Чтобы вычислить данный предел, воспользуемся теоремой 1:.

Получили неопределенность, от которой можно избавиться, используя правило 1. Из каждого множителя в числителе и знаменателе вынесем в максимальной степени.

Ответ..

Замечание. В дальнейшем часть преобразований, связанных с использованием теорем о пределах, будем выполнять в уме.

Правило 2. (о пределе дробно-рациональной функции)

Если при х à а возникла неопределенность, то необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель и сократить дробь (т.к. и, то оба многочлена такой множитель содержат).

Пример 9. Вычислим.

Решение. Подставим в функцию и выясним, приведет это к ответу или к неопределенности.

Получили результат, который не является неопределенностью.

Ответ..

Пример 10. Вычислим.

Решение. Подставим в функцию

.
Получили неопределенность, от которой можно избавиться, применив правило 2. Выделим в числителе и знаменателе множитель. Для этого можно использовать схему Горнера (или деление «уголком»).

Числитель:

Знаменатель можно разложить следующим образом:

Теперь

Опять после подстановки получили неопределенность. Еще раз воспользуемся правилом 2.

Числитель является квадратным трехчленом вида, один корень которого известен. Используя теорему Виета, а именно то, что, найдем второй корень.

Получим

Ответ.

Пример 11. Вычислим.

Решение. Подставим в функцию.

.
Получили неопределенность. Преобразуем данное выражение в рациональную дробь, приведя его к общему знаменателю.

Применяя правило 2, получим

.

Ответ..

Правило 3. (для функций, содержащих радикалы)

Если при вычислении предела функции, содержащей иррациональность, получается неопределенность, от которой нельзя избавиться, применяя правила 1 и 2, то необходимо преобразовать задачу так, чтобы стало возможным применение этих правил 1 и 2. Для этого можно применить следующие способы:

1) ввести новую переменную, после чего все корни извлекаются;

2) тождественно преобразовывая выражение, дополнить его до одной из формул А1 - А3, применение которой избавит неопределенность от корней.

Пример 12. Вычислим.

Решение. Подставим в функцию.

.

Получили неопределенность, избавиться от которой, используя правило 2 нельзя из-за наличия корней. Следуя правилу 3, сделаем замену, которая позволит избавиться одновременно от обоих корней. При этом. При стремлении х к 3 новая переменная t стремиться.

После подстановки получим.

Неопределенность, естественно, осталась, но появилась возможность применить правило 2. Разложим числитель и знаменатель новой рациональной дроби на множители и упростим выражение.

(Мы использовали формулы.)

Ответ..

Пример 13. Вычислим.

Решение. Подставим в функцию.

.

Получили неопределенность, от которой можно будет избавиться по правилу 2 только после того, как мы уберем корень в числителе. Для этого умножим одновременно числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, т.е. на. При этом будет построена формула А1:.

Теперь используя правило 2, получим

Ответ..

Пример 14. Вычислим.

Решение. а) При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность не рассмотренного ранее типа. Так как функция содержит корень, необходимо от него избавиться. Для этого умножим и разделим ее на сопряженное выражение.

Хотя новое выражение опять содержит корень, теперь можно избавиться от получившейся неопределенности, применив правило 1.

.

б) Этот пример[3] по виду очень похож на пример а), но здесь никакой неопределенности нет:.

Ответ. а); б) +∞.

Пример 15. Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке ответ или неопределенность? (неопределенность)

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 3)

3) Чтобы избавиться от корня, входящего в выражение, необходима замена переменной или дополнение до формулы и какой именно?

(дополнение до формулы)

4) Преобразуйте выражение выбранным способом.

()

5) Что получается при непосредственной подстановке в новое выражение?

(неопределенность вида)

6) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности?

(правило 1)

7) Преобразуйте выражение выбранным способом и вычислите предел.

Ответ..

Задачи для самостоятельной работы

Вычислите следующие пределы.

1), 2), 3),

4), 5), 6),

Ответы. 1), 2), 3), 4), 5), 6).

3.5 Первый замечательный предел

Правило 4. (для выражений, содержащих тригонометрические функции)

Если при вычислении предела выражения, в котором содержатся тригонометрические функции, появляется неопределенность, то для избавления от нее необходимо свести задачу к вычислению первого замечательного предела, а именно

, где (1)

Пример 16. Вычислим.

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем

.

Результат не содержит неопределенности.

Ответ..

Пример 17. Вычислим (С ≠0).

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. И так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел.

Преобразуем тождественно так, чтобы появилась дробь, где.

.

Ответ..

Пример 18. Вычислим.

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем.

Предел числителя не существует (см. замечание 3 в главе 2). Однако, заданный в условии предел, не содержит неопределенности, так как в нем и ограниченная величина делится на бесконечно большую. Таким образом, получаем.

Ответ..

Пример 19. Вычислим.

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем

- неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел и в числителе, и в знаменателе.

Роль в числителе играет, а в знаменателе.

.

Ответ..

Пример 20. Вычислим.

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность и, так как данное выражение содержит тригонометрическую функцию, воспользуемся правилом 4 и выделим первый замечательный предел. Для этого преобразуем выражение следующим образом.

.

Ответ..

Пример 21. Вычислите самостоятельно, отвечая последовательно на вопросы.

Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке, ответ или неопределенность? (неопределенность типа)

2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 4)

3) Выделите в данном выражении первый замечательный предели найдите ответ. (используйте).

Ответ..

Пример 22. Вычислим.

Решение. При непосредственной подстановке в выражение получаем - неопределенность. Но ни к одному из рассмотренных правил данное выражение не подходит. Так как воспользоваться известными правилами не позволяет наличие функции arcsin x, заменим ее новой переменной.

. (правило 4)

Ответ..

При решении примеров 17 и 20 - 22 были получены следствия первого замечательного предела, которые часто встречаются при вычислении более сложных пределов. Этими следствиями далее мы будем пользоваться как табличными.

Следствия первого замечательного предела.

Дата добавления: 2014-10-15