Імовірнісні характеристики похибок і результатів вимірювань

Найбільш повним описом властивостей похибки вимірювань (і ЗВТ) є вказання її закону (функції) розподілу ймовірностей: інтегральний (або просто закон розподілу) і диференціальний (або просто щільність ймовірностей). У зв’язку з більш простотою практичного використання перевага віддається щільності ймовірностей. Найчастіше використовується нормальний закон (або закон Гауса). Форми його запису: для результатів вимірювань

, (3.6)

де – математичне сподівання і СКВ результатів вимірювань Х.

Для повної ∆ та випадкової похибок вимірювань маємо в (3.6) замість М[Х] відповідно математичне сподівання повної похибки та 0, замість σ_х значення СКВ повної σ_∆ та випадкової похибок відповідно,

при цьому .

Рівномірний (прямокутний) закон розподілу (рис.3.2.) використовується, наприклад, для описання похибок тертя в опорах електромеханічних приладів, похибки квантування в цифрових вимірювальних приладах, похибки заокруглення при зчитуванні показів зі шкал аналогових вимірювальних приладів, для оцінки похибок, закони розподілу яких невідомі, зокрема невиключеної систематичної похибки, і т.д. Його аналітичне співвідношення:

Рис. 3.2. Рівномірний закон розподілу похибок вимірювань.

де – границі, в яких похибка Δ з однаковою ймовірністю може приймати будь-яке значення (рис.3.2.). При цьому щільність імовірності випадкової похибки

у цих границях є постійною , а поза ними дорівнює нулю.

Основні кількісні характеристики рівномірного закону розподілу похибок:

- систематична похибка ; (3.7)

- дисперсія похибки

, (3.8)

де – довірчий інтервал і довірчі границі відповідно. Для симетричних границь .

Якщо похибка вимірювань утворюється із двох незалежних складових, кожна з яких має рівномірний закон розподілу, але ширина ε інтервалів цих законів відрізняється, то така сумарна похибка описується трапецоїдним законом розподілу. Частинним випадком його є трикутний закон розподілу, якому підкоряється сумарна похибка, що утворена із двох незалежних похибок з однаковим рівномірним законом розподілу (наприклад, похибка квантування для методу дискретної (послідовної) лічби вимірювання часових інтервалів у цифрових вимірювальних приладах): Аналітичне співвідношення для трикутного закону розподілу повної похибки вимірювань має вигляд (рис. 3.3):

Рис. 3.3. Трикутний закон розподілу повної похибки вимірювань

Основні кількісні характеристики трикутного закону розподілу

; . (3.9)

Експериментальне визначення законів розподілу є надмірно складною і досить трудомісткою процедурою, тому замість них використовують кількісні числові характеристики (параметри) – невипадкові величини законів розподілу, які називають імовірнісними. Імовірнісні кількісні характеристики щільності ймовірностей випадкових похибок поділяють на 2 групи:

Точкова оцінка випадкової похибки - значення похибки, яке виражене одним числом. До них належать параметри щільності ймовірностей або моменти випадкових похибок. Найважливішими є їх математичне сподівання, дисперсія або середнє квадратичне відхилення (СКВ), автокореляційна функція. До точкових належать також максимальна (гранична) оцінка похибок, яка правомірна лише для обмежених щільності ймовірностей. На практиці така оцінка є найбільшим за модулем значенням похибки, що зустрілась у даній, обмеженій серії вимірювань. Граничні похибки використовують дуже рідко, лише для грубих оцінок похибок вимірювань.

Автокореляційна функція випадкової похибки є її часовою характеристикою. Максимально-правдоподібна оцінка автокореляційної функції має вигляд

,

де T - час вимірювання (аналізу); - часовий інтервал зсуву миттєвих значень функції . При нульовому значенні автокореляційна функція дорівнює дисперсії випадкової похибки:.

На практиці частіше використовують оцінку нормалізованої автокореляційної функції (або коефіцієнт кореляції)

, (3.10)

де - оцінка СКВ випадкової похибки. Найбільш розповсюдженою точковою характеристикою випадкової похибки залишається її СКВ , причому

,

де , - СКВ повної похибки вимірювань і результатів вимірювань величини X відповідно.

Точкові оцінки можна застосовувати при прецизійних вимірюваннях, якщо похибки досить малі і результати повторних вимірювань не відрізняються значно один від одного. При технічних вимірюваннях необхідно кількісно оцінити ступінь близькості між кожним випадковим результатом вимірювання X та істинним значенням Х_і фізичної величини. Для цього використовують інтервальну імовірнісну оцінку похибки вимірювань – це характеристика щільності ймовірностей випадкової похибки, яка являє собою інтервал, в якому з відомою довірчою ймовірністю знаходиться ця похибка. Площу під кривою щільності ймовірностей випадкової похибки (рис. 3.4) можна поділити на деякі частини вертикальними лініями.

Рис.3.4. До пояснення інтервальної оцінки випадкової похибки вимірювань

Абсциси таких ліній (наприклад , , ) називають односторонніми квантилями і виражають їх у відносних одиницях або у відсотках відрізаної площі під кривою ліворуч від вертикальної лінії, проведеної через даний квантиль. Так, є 5 %-м, а - 95 %-м квантилямі, якщо площа під кривою ліворуч і праворуч від неї складає 5 % і 95 % усієї площі під кривою відповідно; - 50 %-й квантиль (медіана), яка ділить площу під кривою щільності на 2 рівні частини. Значення квантиля вказується у відносних одиницях у нижньому індексі похибки ; ; і виражає ймовірність P того, що випадкова похибка не перевищує її значення . Для різних законів щільності розподілу випадкових величин квантилі задаються таблицями.

Стосовно вимірювань рівень значущості α - це ймовірність того, що випадкова похибка вимірювання (або результат вимірювання X) перевищує значення (або Х_Р) і знаходиться між значеннями (або Х_Р) і . Наприклад, рівень значущості a випадкової похибки вимірювань

.

Інтервал значень між двома квантилями називають інтерквантильним проміжком з певною ймовірністю. Наприклад, інтерквантильним проміжком з 90 %-ю ймовірністю з шириною є інтервал значень між і (рис. 3.4).

Квантильні оцінки випадкової похибки – це значення похибок із заданою довірчою ймовірністю Р_д, надалі просто P. Вони є симетричними границями ∆_д = 0,5ε довірчого інтервалу e невизначеності, в якому знаходиться P відсотків усіх значень похибки (незаштрихована площа під кривою на рис. 3.4), або загальної кількості значень похибки залишаються за межами цього інтервалу. Величину називають границями довірчого інтервалу, або довірчою похибкою, що при розрахунках входить до запису результату вимірювання. На рис.3. 5. пояснено числові характеристики інтервальної оцінки результату вимірювань, де позначено: X, ‑ виміряне та істинне значення фізичної величини; і ‑ нижня і верхня границі (квантилі) результату вимірювання X.

Рис.3.5. Числові характеристики інтервальної оцінки результату

і випадкової похибки вимірювань

Завдання границь довірчого інтервалу зв’язано із завданням імовірності P, з якою значення X вимірюваної величини потрапляє в інтервал її значень , (3.11)

яка зображена незаштрихованою площею під кривою f(X) на рис. 3.4. Рівень значущості результату вимірювання X відповідає сумарній площі заштрихованих ділянок під кривою f(X) (рис.3.4).

Співвідношення, аналогічне (3.11), справедливе і для випадкової похибки:

, (3.12)

Згідно з (3.12) випадкова похибка знаходиться в довірчому інтервалі з довірчою ймовірністю P. Довірчі границі випадкової похибки розташовуються симетрично лише при відсутності систематичної складової похибки . Якщо , то вони стають несиметричними:

Використовують різні значення довірчої імовірності, зокрема, 0,8; 0,9; 0,95 і 0,99. При відсутності даних про вид щільності ймовірності для визначення довірчих границь рекомендується використовувати довірчу ймовірність P = 0,9, оскільки для широкого класу щільності ймовірності справедлива формула ∆_0,9 = 1,6σ_∆^о, де ∆_0,9- похибка при P = 0,9.

Довірча ймовірність P випадкової похибки вимірювань визначається виразом

. (3.13)

Границі довірчого інтервалу випадкової похибки у загальному випадку обчислюють за формулою

(3.14)

де – квантильний коефіцієнт переходу або коефіцієнт довіри. Він залежить від виду функції щільності ймовірностей випадкової похибки вимірювань, довірчої імовірності P та кількості спостережень n при багаторазових вимірюваннях.

При визначенні інтервальних оцінок результатів і похибок вимірювань, розподілених за нормальним законом, необхідно використовувати або нормальний закон при (іноді ), або розподіл Стьюдента при < 20 (або n < 30). Для нормального закону замість коефіцієнта в (3.14) уводять позначення z, а для розподілу Стьюдента - позначення (або ).

Для зручності практичного застосування нормальний закон нормують (приводять до ). Тоді інтегральний Ф(z) і диференціальний f(y) закони) мають вигляді:

(3.15)

де ;

. (3.16)

Стандартний інтеграл (3.15) має назву функції похибок, або інтеграла ймовірностей. Таблиці функцій Ф(z) і f(y) наведені в додатках 6, 7 відповідно. Функція Ф(z) використовується при визначенні інтервальних характеристик симетричного довірчого інтервалу.

При вимірюваннях задаються або довірчою ймовірністю P у відносній формі, або границями довірчого інтервалу випадкової похибки. в абсолютних одиницях або у відносній формі (чи у відсотках). Якщо вихідною є довірча ймовірність P, то, наприклад, при нормальному законі розподілу похибки за таблицею функції знаходять відповідне значення аргументу z, яке використовують у формулі (3.14) (= z) для обчислювання границь довірчого інтервалу . Значення СКВ випадкової похибки визначають попередньо за результатами спостережень або ним задаються.

При технічних вимірюваннях, припускаючи, що їх похибки підпорядковуються нормальному законові розподілу, часто користуються довірчим інтервалом , для якого довірча ймовірність (99,73%). Для інших довірчих інтервалів , довірчі ймовірності P дорівнюють 68, 95 і 99,9936 %.

При кількості спостережень для визначення границь довірчого інтервалу середнього арифметичного результатів вимірювань, які підпорядковуються нормальному розподілові, використовується розподіл Стьюдента. У цьому випадку границі довірчого інтервалу (3.14) виражаються через коефіцієнт Стьюдента (формально величина замінюється величиною ), який, на відміну від параметра z нормованого нормального розподілу, залежить не тільки від довірчої імовірності P, але й від кількості спостережень n. Для розподілу Стьюдента ймовірність P і коефіцієнт зв’язані виразом:

(3.17)

де

– коефіцієнт Стьюдента,

s(t)- щільність розподілу Стьюдента, - гамма-функція;- число ступенів вільності розподілу Стьюдента, воно дорівнює . Із збільшенням кількості спостережень n графік розподілу Стьюдента наближається до нормального розподілу все більше (при обидва графіки практично збігаються).

Вхідними даними до таблиці (додаток 8) розподілу Стьюдента (3.17) є довірча ймовірність P і число степенів вільності Вони дозволяють визначить t_p. За значенням знаходять границі довірчого інтервалу випадкової похибки середнього арифметичного за формулою (3.14), приймаючи в ній :

(3.18)

тобто

Значення коефіцієнта при Р=0,9 для інших розповсюджених при оцінках похибок законів розподілу: нормальний -1,6; Стьюдента – від 2,01 при k_p = 5 до 1,7 при k_p = 30; рівномірний -1,73; трикутний -2,45; трапецоїдний -2,3.

Величини і (або ) обчислюються на основі експериментальних даних (результатів спостережень). Вони являють собою точкові оцінки математичного сподівання і СКВ результатів спостережень або СКВ середнього арифметичного (див. підр.3.4).

Точкові й інтервальні оцінки випадкової похибки вимірювань являють собою імовірнісні характеристики - детерміновані величини. Оскільки і випадкової похибки визначається за вибіркою результатів вимірювань, то на практиці довірчий інтервал є ймовірнісно-статистичною характеристикою, що має деякий розкид значень (див. підр. 3.4).

Імовірнісні характеристики взагалі є деякою ідеалізацією, а замість них визначають статистичні оцінки точкових й інтервальних характеристик результатів вимірювань на основі обмеженого об'єму даних.

Дата добавления: 2014-10-15