Вивчення вільних загасаючих коливань фізичного маятника та визначення основних характеристик цих коливань

G

J = m çç

-1÷÷ r 2. (3.4)

è 2 h ø

Оскільки величина

gt 2 h

>> 1 (у

2 h

чому можна переконатися безпосередніми підрахунками), то формула (3.4) набуває більш простого вигляду:

2 2

Рис. 3.1

J» mgt r

2 h

. (3.5)

Момент інерції системи J складається з моменту інерції блока з хрестовиною J0 i моменту інерції J /тягарців m 1, закріплених на хрестовині. Якщо вважати тягарці точковими масами, у випадку симетричного їх розташування відносно осі обертання можна записати:

J = J 0 + 4 m 1 R

де R – відстань тягарців від осі обертання.

, (3.6)

J,

кг×м2

J 0

Рис. 3.2

R 2, м2

З (3.6) випливає лінійна залежність між J та R 2. Визначивши момент інерції системи для різних значень R, можна побудувати графік залежності J = f (R 2) (рис. 3.2).

Для більш точного вимірювання часу опускання вантажу, в установці використовується електронний секундомір, який фіксує тривалість руху.

Хiд роботи

1. Встановити тягарці m1 на максимальній i однаковій відстані R від осі обертання.

2. Намотуючи нитку на блок, підняти вантаж m на висоту h i зупинити, зафіксувавши хрестовину.

3. Відпустити хрестовину i виміряти час t опускання вантажу. При необхідності досліди повторити тричі i знайти середнє значення часу опускання вантажу m, яке занести в таблицю.

4. Підрахувати значення моменту інерції J, підставляючи у формулу (3.5) середнє значення часу.

5. Аналогічні вимірювання провести для іншої маси вантажу m, розрахувати відповідне значення моменту інерції і дані занести в таблицю.

6. Проробити пп. 1-5 для кількох різних положень тягарців відносно осі обертання. Результати вимірів i обчислень записати до таблиці 3.1.

7. Для кожного значення радіусу R розрахувати середнє значення моменту інерції Iсер, що вирахувано для різних мас вантажу.

8. Побудувати графік залежності J від R 2(див. рис.3.2) i методом екстраполяції

визначити J0.

9. Для перевірки результату обробити результати вимірювань за методом найменших квадратів, використовуючи один з пакетів програмного забезпечення лабораторного практикуму.

Контрольні запитання

1. Дати означення механічного руху; поступального і обертального рухів.

2. Яке тіло називають абсолютно твердим?

3. Дати означення таким фізичним величинам: переміщення, шлях, швидкість, прискорення.

4. Дати означення таким фізичним величинам: кутова швидкість, кутове прискорення. Вкажіть напрям цих векторів.

5. Формули зв’язку між лінійними та кутовими величинами при русі по колу.

6. Дати означення нормального і тангенціального прискорень.

7. Що таке маса, сила, імпульс? Сформулюйте закони Ньютона.

8. Запишіть основний закон динаміки обертального руху.

9. Дайте означення моменту сили відносно нерухомої точки О. Як визначається напрямок цього моменту сили?

10. Дайте означення моменту сили відносно нерухомої осі Оz.

11. Що називають моментом інерції точки (тіла або системи точок) відносно осі обертання?

12. Сформулюйте теорему Штейнера.

ПРОТОКОЛ

вимірювань до лабораторної роботи №М2

Виконав(ла)

Група

Параметри установки:

Радіус шківа r = м, висота опускання h = м Таблиця 3.1.

№ пор	R, м	m, кг	t, с	J, кг×м2	R 2, м	Jсер, кг×м2
J 0, кг×м2		ΔJ0, кг×м2 (методом найменших квадратів)
J 0, кг×м2(по графіку)=

Результати обчислень:

Дата

Підпис викладача

Лабораторна робота № М3(№41)

Фізичний маятник – це абсолютно тверде тіло, що здійснює коливання під дією сили тяжіння відносно осі, що не проходить через його центр мас. У кожній реальній коливальній системі наявні сили тертя або інші сили опору, які призводять до загасання коливань - до зменшення їх амплітуди з часом. У результаті дії сил опору відбувається дисипація енергії механічних коливань, тобто розсіювання її в навколишньому середовищі. Оскільки фізичний маятник

- це абсолютно тверде тіло, то і рівняння динаміки ми будемо брати для обертального руху.

де

, (4.1)

– кутове прискорення, І – момент інерції.

У випадку коливань момент сили тертя буде пропорційний кутовій

швидкості можна записати у вигляді:

, (4.2)

де r – коефіцієнт тертя або опору.

Момент, що повертає маятник у положення рівноваги – це момент сили тяжіння, який можна записати у вигляді, враховуючи відстань від точки підвісу до центра мас тіла l:

,

або у випадку малих кутів:

, (4.3)

, (4.4)

. (4.5)

Останнє рівняння можна привести до вигляду:

Рисунок 4.1

, (4.6)

де β – визначає ступінь з агасання і називається

коефіцієнтом загасання, √

– власна циклічна

частота коливань. При малих затуханнях

буде:

w 2 - b 2 > 0, розв’язком рівняння (4.6)

(4.7)

Амплітуда загасаючих коливань змінюється за експоненціальним законом. φ –

амплітуда загасаючих коливань у момент часу t, j 0

– початкова амплітуда,

частота w = 2 p / T =

w 2 - b 2 - циклічна частота загасаючих коливань.

Характеристики коливань:

Час релаксації τ – час, за який амплітуда зменшується в е разів (е @ 2,72).

Тобто час t = 1/ b

знаходиться з умови

A (t)

A (t + t)

= e, де А – амплітуда коливань.

Звідси, коефіцієнт загасання b - це величина обернена часу релаксації:

b = 1/ t. (4.8)

Декрементом загасання Δ називають фізичну величину, яка дорівнює відносному зменшенню амплітуди за час одного періоду коливань Т:

D = A (t)

A (t + T)

= ebT

. (4.9)

Логарифм цієї величини зветься логарифмічним декрементом загасання:

l = ln D = ln A (t) = ln

A (t + T) A 0

A 0exp(- bt)

exp[- b (t + T)] = ln(exp bt) = bT.

(4.10)

Або, використовуючи формулу (3), одержуємо такий вираз:

l = bT = T / t =

1 = 1

t / T N 0

(4.11)

Тобто логарифмічний декремент загасання - це величина, обернена числу

коливань

N 0= t / T,

протягом яких амплітуда коливань зменшується в е разів.

Добротність коливальної системи - це величина, обернена відносному зменшенню енергії коливань за час одного періоду:

Q = 2 pW (t)

W (t) - W (t + T)

(4.12)

Якщо

b << w 0

або d << 1,

тоді T @ T 0

і добротність можна знайти за формулою:

Q @ w 0/ 2 b = pt / T 0@ p / l = pN 0

(4.13)

Тобто добротність пропорційна величині тим менше загасають коливання.

N 0. Чим більша добротність системи,

2

Рисунок 4.2 Установка фізичного маятника

Схема установки представлена на рисунку 4.2 представляє собою диск 1 вісь обертання якого проходить на відстані l від його центра мас. Стрілка, що прикріплена до диску, вказує на поділки, що нанесені на шкалу 3. Вимірювальний прилад 2 використовується для відрахування часу.

Хід роботи

1. Відхиляємо маятник від положення рівноваги на 12 – 15 поділок і розраховуємо амплітуду коливань, яка буде меншою за початкову в е раз.

2. Вимірюємо час релаксації τ – час, за який амплітуда зменшиться в е раз і кількість коливань N0, що при цьому відбудеться.

3. Пункти 1-2 повторюємо n разів і результати вимірювань заносимо в

таблицю.

4. Обчислюємо середні значення ̅, ̅̅̅ ̅ та похибки прямих вимірювань величин Δτ, Δ N0.

5. Обчислюємо характеристики коливань та їх похибки за формулами:

̅

̅

̅

̅̅̅̅

(4.14)

(4.15)

(4.16)

6. Розрахувати момент інерції маятника

та його похибку √̅

() (

) ().

Контрольні запитання

1. Дати визначення періодичного, коливального руху.

2. Енергія гармонічних коливань у випадку загасаючих та не загасаючих коливань.

3. Гармонічні вільні та загасаючі коливання, їх рівняння в диференційній та інтегральній формі.

4. Фізичний маятник та його характеристики.

5. Характеристики загасаючих коливань: час релаксації, декремент, логарифмічний декремент, добротність, та формули, за якими вони визначаються.

ПРОТОКОЛ

вимірювань до лабораторної роботи №М3

Виконав(ла)

Група

Параметри установки:

Радіус маятника R = м, маса маятника M= кг Похибка ΔR, Δl= м, похибка маси ΔM= кг Відстань від осі обертання до центра мас l = м.

Таблиця 4.1

№ вим.	τ, с	N0
.
.
̅

Результати обчислень:

β=	λ=	Q =	I =
Δβ=	Δλ=	Δ Q =	Δ I =

Дата

Підпис викладача

Змістовий модуль 2. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА. (Мл)

Дата добавления: 2014-10-15