Операции над матрицами

Линейная алгебра

Одним из основных объектов линейной алгебры являются матрицы и системы линейных уравнений. Понятие матрицы, определителя, операции над ними имеют важное значение для построения математических моделей различных экономических и технических процессов.

Определение. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Матрицы обозначают А, В,…С, а их элементы а_ij, где i – номер строки, а j – номер столбца, в котором стоит элемент.

Матрицы одинаковых размеров можно складывать, умножать на число, транспонировать. Эти операции выполняются поэлементно. Умножение двух матриц возможно для матриц определенного размера; количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй: A_m×n ٠ B_n×p = C_m×p. Умножение матриц некоммутативно, т. е. А٠В ≠ В٠А. Матрицы, для которых равенство выполняется, называют перестановочными.

Свойства операций над матрицами:

1. 3.

2. 4.

5. 7.

6. 8.

1.1. Вычислить матрицу , где Т – знак транспонирования:

1) , , ;

Пример 1.1.

= = ,

.

Итак, D =

2) , , ;

3) , , ;

4) , , С

1.2. Даны матрицы А, В в таблице 1.1. Вычислить матрицу , где Е – единичная матрица соответствующей размерности.

Таблица 1.1

№	Матрица А	Матрица В	№	Матрица А	Матрица В
	3 1 0 2 0 1 1 1 3	1 0 0 0 3 0 0 0 2		3 1 1 0 2 –1 1 0 –2	3 0 0 0 –3 0 0 0 1
	1 4 1 2 1 0 –1 0 0	3 0 0 0 5 0 0 0 1		0 0 3 1 2 1 0 0 1	1 0 0 0 1 0 0 0 2
	1 0 1 4 1 0 2 0 1	4 0 0 0 –1 0 0 0 2		1 0 0 0 3 4 0 1 5	3 0 0 0 5 0 0 0 1
				Продолжение таблицы 1.1
№	Матрица А	Матрица В	№	Матрица А	Матрица В
	2 1 1 –1 3 0 0 1 –2	5 0 0 0 1 0 0 0 –2		2 5 0 1 4 0 0 0 –1	4 0 0 0 3 0 0 0 2
	0 1 2 3 0 1 0 –1 –2	–1 0 0 0 2 0 0 0 4		2 1 0 0 2 0 0 0 4	1 0 0 0 2 0 0 0 3

1.3. Рассмотреть пример и решить задачи.

1) Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i- го вида на производство единицы продукции j- го типа заданы матрицей затрат А . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа x_j, записанное матрицей Хn×1.

Определить S матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.

Дата добавления: 2014-10-15