Вероятность суммы несовместных событий

Понятия вероятности

Аксиоматическое определение

Приведем аксиоматическое определение вероятности, предложенное А. Н. Колмогоровым.

1. Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соответствие неотрицательное число P(А), называемое вероятностью.

2. P(Ω) = 1, гдеΩ −пространство элементарных событий.

3. Аксиома сложения. Если события попарно несовместны, то

Отсюда следует:

1) вероятность невозможного события равна нулю

2) для любого события А выполняется условие

3)

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий:

(3.10)

Следствие 1. С помощью метода математической индукции формулу (3.10) можно обобщить на любое число попарно несовместных событий:

(3.11)

Следствие 2. Поскольку противоположные события являются несовместными, а их сумма – достоверным событием, то, используя (3.10), имеем:

(3.12)

Часто при решении задач формулу (3.12) используют в виде:

(3.13)

Пример 3.29. В опыте с бросанием игральной кости найти вероятности выпадения на верхней грани числа очков более 3 и менее 6.

Обозначим события, связанные с выпадением на верхней грани игральной кости одного очка, через U₁, двух очковчерез U₂,…, шести очков через U₆.

Пусть событие U – выпадение на верхней грани кости числа очков более 3 и менее 6. Это событие произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий U₄ или U₅, следовательно, его можно представить в виде суммы этих событий: . Т. к. события U₄ и U₅ являются несовместными, то для нахождения вероятности их суммы используем формулу (3.11). Учитывая, что вероятности событий U₁, U₂,…, U₆ равны , получим:

Замечание. Ранее задачи такого типа решали с помощью подсчета числа благоприятствующих исходов. Действительно, событию U благоприятствуют два исхода, а всего шесть элементарных исходов, следовательно, используя классический подход к понятию вероятности, получим:

Однако классический поход к понятию вероятности, в отличие от теоремы о вероятности суммы несовместных событий, применим только для равновозможных исходов.

Пример 3.30. Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,7. Какова вероятность того, что стрелок не попадет в цель?

Пусть событие − попадание стрелком в цель, тогда событие, состоящее в том, что стрелок не попадет в цель, является противоположным событием событию , т. к. в результате каждого испытания всегда происходит одно и только одно из этих событий. Используя формулу (3.13), получим:

Дата добавления: 2014-10-15