КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Наступлений события
Формула Бернулли. Наивероятнейшее число Схема Бернулли. Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из них может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятность Вероятность того, что событие произойдет m раз в n испытаниях, выражается формулой Бернулли: (3.18) где − число сочетаний из n элементов по m. Пример 3.34. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 5 выстрелов дадут 2 попадания? Используя формулу Бернулли (3.18) и учитывая, что и получим: Определение. Число называется наивероятнейшим числом наступлений события A в испытаниях, если не меньше остальных значений т. е. при Если и , то значение можно определить из двойного неравенства: (3.19) Разность граничных значений в неравенстве (3.19) равна единице. Если не является целым числом, то неравенство определяет лишь одно значение . Если же является целым числом, то неравенство определяет два наивероятнейших значения: и Пример 3.35. В урне10 белых и 40 красных шаров. Вынимают наугад по одному 14 шаров, каждый раз возвращая вынутый шар в урну и тщательно перемешивая шары. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара. Из условия задачи следует, что а Используя неравенство (3.19), получим: т. е. Таким образом, задача имеет два решения: и Пример 3.36. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель. Из условия задачи следует, что а Используя неравенство (3.19), получим: т. е. Задача имеет одно решение:
3.2.14. Локальная формула Муавра−Лапласа В рамках схемы Бернулли при большом числе n независимых испытаний использовать формулу Бернулли нецелесообразно. В этих ситуациях используют локальную формулу Муавра − Лапласа.
Локальная теорема Муавра−Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятностью событие наступит m, приближенно равна: (3.20) где Функция является четной, следовательно, Таблица значений функции для положительных значений аргумента приведена в приложении 1. Формулу (3.20) называют локальной формулой Муавра − Лапласа или локальной формулой Лапласа. Пример 3.37. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25. По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся (3.20) локальной формулой Муавра − Лапласа: В таблице значений функции (приложение 1) найдем и подставим в (3.20). Искомая вероятность По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся (3.20) локальной формулой Муавра − Лапласа: Так как функция является четной, следовательно, В таблице значений функции (приложение 1) найдем и подставим в (3.20). Искомая вероятность 3.2.15. Интегральная формула Муавра−Лапласа Интегральная теорема Муавра−Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью или не наступить с вероятностьсобытие наступит не менее и не более раз, приближенно равна: (3.21) где − функция Лапласа. Функция является нечетной, следовательно, Таблица значений функции для положительных значений аргумента приведена в приложении 2.
Формулу (3.21) называют интегральной формулой Муавра − Лапласа или интегральной формулой Лапласа. Пример 3.39. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 75 и не более 90 раз в 100 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,8. По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся (3.21) интегральной формулой Муавра − Лапласа: Учитывая нечетность функции т. е. найдем в таблице значений (приложение 2) и подставим в (3.21). В результате получим:
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 377; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |