Лекція №2 Позиційні та непозиційні системи числення

Тема 1.2 Системи числення та представлення інформації в ЕОМ.

1. Перевід чисел з однієї системи числення в іншу.

2. Форми представлення чисел в ЕОМ.

3. Форма з фіксованою комою. Форма з плаваючою комою.

Варіанти переводів. Перевід з двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення в десяткову систему числення і навпаки. Перевід з вісімкової та шістнадцяткової систем числення в двійкову. В ЕОМ інформація обробляється словами, тому в подальшому будемо розглядати поняття та алгоритми, які відносяться до третього та четвертого рівня ієрархії апаратних засобів ЕОМ.

Система відображення будь-яких чисел за допомогою обмеженого числа символів називається системою числення. Системи числення діляться на: непозиційні та позиційні.

В непозиційних - одна і та сама цифра в любому місці числа має одне й те саме значення (римська система, наприклад цифри ІХ (10-1) та ХІ (10+1)).

Недолік: важко записати великі числа та виконувати арифметичні дії.

В позиційних – одна і та сама цифра має різне значення в різних місцях числа (арабська система, наприклад цифра 11 (перша позиція – значення 10, друга позиція – значення 1).

В цифровій техніці використовуються позиційні системи числення, а саме, такі, де вага кожного наступного розряду в стільки разів більша від ваги попереднього, скільки система має значення основи системи числення. Використовуються:

1. десяткова система числення (основа системи числення має значення 10);

2. вісімкова система числення (основа системи числення має значення 8);

3. двійкова система числення (основа системи числення має значення 2);

4. шістнадцяткова система числення (основа системи числення - 16).

Назва системи числення	десяткова	вісімкова	двійкова	шістнадцяткова
Цифри:	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	0, 1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)
Приклади:	1256,71	20,127	101,01	12А,4F
Запис у вигляді багаточлена	1*10^3+2*10^2+ 5*10^1+6*10^0+ 7*10^-1+1*10^-2	2*8^1+0*8^0+ 1*8^-1+2*8^-2+ 7*8^-3	1*2^3+0*2^2+ 1*2^1+1*2^0+ 0*2^-1+1*2^-2	1*16^2+2*16^1+10*16^0+ 4*16^-1+ 15*16^-2

Число записується у вигляді послідовності цифр, які розділені комою на дві групи: цілу частину та дробову частину. Кожна цифра числа займає в ньому певну позицію яка називається розряд. Розрядам приписуються різні вагові коефіцієнти наприклад 10², 10⁰ і т.д.

В переводі з однієї системи числення в іншу можливі такі варіанти:

1) перевід 8 ® 10

2 ® 10

16 ® 10, здійснюється шляхом запису числа у вигляді багаточлена.

Наприклад: (20,1)₈ = 2*8¹+0*8⁰+1*8^-1 = 16 + 1/8 = (16,125)₁₀. (індекси при числах показують основу системи числення, у якій представляється число).

Наприклад: (101,01)₂ = 1*2²+0*2¹+ 1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2 = 4+1 + 1/4 = (5,25)₁₀.

Наприклад: (А0,8)₁₆ = 10*16¹+0*16⁰+ 8*16^-1 = 160+8/16 = (160,5)₁₀.

2) перевід 8 ® 2

16 ® 2

Основи вісімкової та шістнадцяткової системи числення виражені цілою степеню двох (8=2³, 16=2⁴). Для переводу чисел із вісімкової системи у двійкову необхідно кожну цифру вісімкового числа представити трьохрозрядними двійковими числами.

Наприклад: (761,25)₈ = (111 110 010, 010 101)₂

Для переводу чисел із шістнадцяткової системи у двійкову необхідно кожну цифру шістнадцяткового числа представити чотирьохрозрядними двійковими числами. Наприклад: (А7В,С5)₁₆ = (1010 0111 1011,1100 0101)₂.

При зворотньому переводі чисел із двійкової системи у вісімкову або шістнадцяткову систему числення необхідно розряди двійкового числа, розбити на групи по три розряди при переводі у вісімкову систему або на групи по чотири розряди при переводі у шістнадцяткову систему числення. Неповні крайні групи доповнюються нулями. Наприклад: (001 111,101 010)₂ = 17,52₈,

(0101 1100,1011 0110)₂ = 5С,B6₁₆

3) перевід 10®2

10®8

10®16 здійснюється шляхом ділення цілої частини числа на нову основу, а дробової множенням на нову основу.

	(32)10	=	(20)16
		_
	(33)10	=	(21)16
		_

Дробові числа перетворюються

неточно.

Наприклад:

(39519,7821502)₁₀ = (9А5F,С83А...)₁₆

Необхідно цілу частину числа 39519 послідовно ділити на 16, залишки від ділення є цифри шістнадцяткового числа, а дробову частину 0,7821502 необхідно домножувати на 16, при цьому цілі частини є цифрами шістнадцяткового числа.

-
		-
	15(F)			-
					10(А)

	х	0,7821502
С	®	12,514403
	®	8,230448
	®	3,687168
А	®	10,994688

Перевірка: (9А5F,C83A)₁₆ = 9*16³+10*16²+5*16¹+ 15*16⁰+12*16^-1+8*16^-2+3*16^-3 = 36864+2560+80+15+0,75+0,03125+0,000732421875=39519,78198241

Дата добавления: 2014-10-15