Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Прямая на плоскости

Аналитическая геометрия.

В этом параграфе мы рассмотрим различные виды уравнений прямых на плоскости и задачи, которые решаются с помощью этих уравнений.

у

М(х,у)

у-в

х

х

О

Рис.3.1

Прямая на оси Оу пересекает точку и с положительным направлением оси Ох составляет угол

;;

введем обозначение тогда

где - называется угловым коэффициентом.

Пример 1. Уравнение перепишем в виде

.

Следовательно, это уравнение определяет прямую с угловым коэффициентом, пересекающую ось в точке с координатой. Для того, чтобы изобразить эту прямую найдем ее точку пересечения с осью. Подставив в уравнение, получим что. По точкам пересечения с осями координат несложно построить эту прямую см. рис. 3.2.

Y

X

Рис. 3.2

Если прямая имеет угловой коэффициент и проходит через данную точку то

, так как, то

уравнение прямой через данную точку с угловым коэффициентом к имеет вид:

С помощью угловых коэффициентов можно определить углы между прямыми.

Из школьной программы известна следующая теорема.

Теорема. Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Прямые и параллельны только в том случае когда

Прямые и перпендикулярны только в том случае, когда

Пример 2. Для прямой запишем уравнения прямых || и, проходящих через точку. Прямая имеет тот же угловой коэффициент, что и, т.е.. Поэтому ее уравнение имеет вид:

, т.е..

Прямая имеет угловой коэффициент, т.е..

Ее уравнение записывается в виде:

, т.е..

2. Определение. Любой ненулевой вектор на прямой называется ее направляющим вектором.

Этот вектор является базисным вектором этой прямой. Координаты обозначим через.

Y

M₀ M L

X

O

Рис. 3.3

Пусть – некоторая фиксированная точка на прямой, а – произвольная точка на этой прямой см. рис. 3.3. Обозначим координату вектора в базисе через, т.е..

Тогда из соотношения получим уравнение:

,

которое называется векторным уравнением прямой.

Здесь.

3. Запишем абсциссы и ординаты обеих частей векторного уравнения, получим:

эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

4. Поскольку векторы и коллинеарные, то строки, составленные из их координат и пропорциональны, следовательно,

это уравнение называется уравнением прямой с направляющим вектором.

Пример 3. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору. Подставим координаты точки и вектора в уравнение, получим

;

5. Пусть прямая проходит через две точки и. Тогда вектор с координатами является направляющим для этой прямой.

Поэтому, из уравнения с направляющим вектором получим, что

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример 4. Запишем уравнение прямой, проходящей через точки и. Подставив координаты точек в уравнение, получим:

6. Раскрывая определитель в уравнении прямой с направляющим вектором, получим

Обозначим через А, – через В, через С, в результате получим:

.

Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Следующая теорема обосновывает это название.

Теорема. Любая прямая на плоскости определяется своим общим уравнением и любое уравнение вида, где задает некоторую прямую на плоскости.

Доказательство. То, что уравнение любой прямой можно свести к общему виду, было показано выше. Докажем вторую часть теоремы. Пусть имеется уравнение

.

Если, то, что есть уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если, то, получим:

.

Это уравнение определяет вертикальную прямую, проходящую через точку на оси.

Не следует думать, что между множеством всех прямых на плоскости и множеством всех общих уравнений имеется взаимно однозначное соответствие. Например, два уравнения и определяют одну и ту же прямую.

Определение. Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Дата добавления: 2014-10-17