Плоскость в пространстве

N

N

Теорема о нормальном векторе прямой. Вектор с координатами является нормальным для прямой с уравнением на плоскости.

Доказательство. Пусть точки и лежат на прямой (см. рис. 2.4), это означает, что

и

.

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

.

Следовательно, скалярное произведение

,

поэтому и (см. рис. 2.4).

Пример 5. Найдем нормальный вектор для прямой, для этого приведем уравнение прямой к общему виду:.

Отсюда.

Следствие 1. Косинус угла между прямыми и

с нормальными векторами и находится по формуле:

.

M₀

M₁ L

Рис. 3.4

Следствие 2. Эти прямые перпендикулярны только в том случае, когда

Следствие 3. Эти прямые параллельны только в том случае, когда

.

Если же

,

то прямые и совпадают (Эти равенства здесь понимаются в смысле пропорций, т.е. в числителе и знаменателе дробей могут находиться нули).

Доказательство этих следствий получаются из того факта, что угол между прямыми совпадает с углом между их нормальными векторами и (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами) (см. рис. 3.5).

Пример 6. Найдем угол между прямыми

и.

Здесь, и, следовательно, эти прямые перпендикулярны.

L₂

j

j

L₁

Рис. 3.5.

7. Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно вектору, тогда ее уравнение имеет вид:

.

Это уравнение называется уравнением прямой с нормальным вектором.

Поскольку коэффициенты при и уравнения равны координатам нормального вектора и при подстановке в уравнение вместо и значений и получается верное равенство, то указанное уравнение удовлетворяет требуемым условиям.

Пример 7. Дана прямая и точка. Запишем уравнения прямых и, проходящих через точку, где ||, а.

Пусть, – нормальные векторы прямых,.

Поскольку ||, то можно положить. Запишем уравнение прямой с этим нормальным вектором, проходящей через точку, получим уравнение:

Поскольку, то ||, следовательно, вектор является направляющим для и ее уравнение есть:

8. Пусть прямая не проходит через начало координат и пересекает оси и в точках с координатами соответственно и. Тогда уравнение этой прямой имеет вид:

.

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках (см. рис. 3.6).

Y

O X

Рис.3.6.

Проверьте самостоятельно то, что эта прямая проходит через указанные точки. Это уравнение используется для быстрого определения положения прямой на плоскости.

Пример 8. Приведем уравнение прямой к виду в отрезках:

Следовательно, и прямая пересекает ось в точке с этой координатой, она пересекает ось в точке с координатой.

9. Пусть прямая не проходит через начало координат, и расстояние от точки до равна, и пусть - единичный нормальный вектор, проведенный из точки в направлении прямой, и – его направляющие косинусы (см. рис. 3.7).

b M

a

X

O L

Рис. 3.7.

Пусть – проекция точки на, и – произвольная точка на этой прямой.

Тогда

.

Окончательно получаем, что

.

Это уравнение называется нормальным уравнением прямой.

Обратим внимание, что здесь свободный член – уравнения всегда отрицателен, а, т.к. – единичный вектор.

Поэтому, чтобы из общего уравнения прямой получить ее нормальное уравнение, необходимо умножить его на число, где знак берется противоположным знаку С.

Пример 9. Запишем нормальное уравнение прямой.

Здесь

.

Умножив уравнение на это число, получим:

,

что есть нормальное уравнение этой прямой.

Здесь,;.

Теорема. Расстояние от точки до прямой определяется формулой:

.

Доказательство. Пусть – есть проекция точки на прямую (см. рис. 2.8).

Тогда

Если прямая задана своим общим уравнением, то его предварительно необходимо умножить на. Отсюда получаем следующее следствие.

Следствие. Расстояние от точки до прямой определяется формулой

.

Пример 10. Расстояние от точки до прямой равно:

.

Y

M₁

M₀

O X

Рис.3.8.

Определение. Величина называется отклонением точки от прямой.

Из доказательства последней теоремы следует, что прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых положительно и совпадает с расстоянием, а в другой отрицательно и.

Пример 11. Проверить, пересекает ли отрезок, где, прямую.

Отклонение точки от равно:

.

Отклонение точки от равно:

.

Оба этих отклонения положительны, поэтому точки и лежат по одну сторону от, и отрезок прямую не пересекает.

Все уравнения плоскостей в пространстве с небольшими изменениями повторяют уравнения прямой на плоскости, доказательства этих уравнений также аналогичны. Мы предлагаем читателю сравнить пункты этой лекции с соответствующими пунктами предыдущей.

1. Пусть плоскость в пространстве пересекает ось в точке с координатой, а угловые коэффициенты ее пересечения с плоскостями и равны соответственно и (см. рис.2.9).

Тогда уравнение этой плоскости имеет вид

.

Это уравнение называется уравнением плоскости с угловыми коэффициентами.

С помощью такого уравнения можно описать любую плоскость, не параллельную. Выводить это уравнение мы не будем.

2. Определение. Любые два неколлинеарных вектора и на плоскости называются ее направляющими векторами.

Эти векторы являются базисными векторами плоскости. Координаты векторов и обозначим переменными и соответственно.

Z

j₂

j₁

O Y

X

Рис.3.9.

Пусть - некоторая фиксированная точка на плоскости, - произвольная точка этой плоскости (см. рис.3.10).

Z

M₀ M

P

O Y

Рис.3.10.

X

Обозначим координаты вектора в базисе через, т.е.

.

Тогда из соотношения получим уравнение:

,

которое называется векторным уравнением плоскости. Здесь.

3. Записав координаты обеих частей векторного уравнения, получим:

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости.

4. Поскольку векторы,, - компланарны, то их смешанное произведение равно нулю:

,

следовательно, в координатной записи:

Это уравнение называется уравнением плоскости с направляющими векторами.

Пример 1. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и. Подставив координаты точки и векторов в определитель уравнения, получим:

.

Разложив определитель по первой строке, получим искомое уравнение:

.

5. Пусть плоскость проходит через три точки, и, не лежащие на одной прямой. Тогда векторы и являются направляющими для плоскости, подставив их координаты в уравнение с направляющими векторами, получим:

.

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример 2. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки, и. Подставив координаты точек в уравнение, получим:

Несложно проверить, что плоскость, описываемая этим уравнением, проходит через точки. Для этого достаточно подставить координаты точек в уравнение:

6. Разложив определитель в уравнении плоскости с направляющими векторами по первой строке, получим

Здесь

алгебраические дополнения элементов первой строки. Обозначив через, через, через, а через, получим:

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Следующая теорема обосновывает это название.

Теорема. Любая плоскость в пространстве определяется своим общим уравнением, и любое уравнение вида, где, задает некоторую плоскость в пространстве.

Доказательство первой части теоремы приведено выше, вторая часть теоремы дается без доказательства.

Заметим, что различные общие уравнения могут определять одну и ту же плоскость.

Определение. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Теорема о нормальном векторе плоскости. Вектор с координатами является нормальным для плоскости с уравнением

в пространстве.

Докажите самостоятельно эту теорему, повторив с необходимыми изменениями доказательство для случая прямой.

Пример 3. Нормальным вектором для плоскости является вектор.

Следствие 1. Косинус угла между плоскостями

и

с нормальными векторами и находится по формуле:

.

Следствие 2. Эти плоскости перпендикулярны только в том случае, когда

.

Следствие 3. Эти плоскости параллельны только в том случае, когда

.

Если же

,

то плоскости и совпадают.

(Эти равенства здесь понимаются в смысле пропорций).

Пример 4. Найдем косинус угла между прямыми и. Здесь,.

.

Коэффициенты нормального вектора плоскости и коэффициент позволяет оценить расположение плоскости относительно координатных осей и плоскостей следующим образом. (Во всех уравнениях отличны от нуля).

а) Если, т.е. если уравнение плоскости имеет вид:

то ||. Это следует из того, что. Плоскость вида проходит через, т.к. координаты любой точки вида удовлетворяют этому уравнению.

в) Плоскость с уравнением параллельна, а плоскость проходит через.

с) Плоскость с уравнением параллельна, а плоскость проходит через.

d) Плоскость с уравнением параллельна плоскости, т.к. ее нормальный вектор.

е) Плоскость с уравнением параллельна.

f) Плоскость с уравнением параллельна.

g) Плоскость с уравнением проходит через начало координат точку.

7. Пусть плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору. Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор =. При любом расположении точки М на плоскости вектора и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю.

=0

Тогда

.

Это уравнение называется уравнением плоскости с нормальным вектором.

Пример 4. Дана плоскость и точка. Найдем уравнение плоскости || и проходящей через точку.

Поскольку ||, то вектор является нормальным для обеих плоскостей. Подставляя его координаты и координаты в уравнение, получим

.

8. Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси в точках с координатами и соответственно. Тогда уравнение этой плоскости имеет вид:

.

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках

(см. рис.3.11).

Z

Y

X

Рис.3.11

Пример 5. Приведем уравнение плоскости к виду уравнения в отрезках:

Следовательно, эта плоскость пересекает координатные оси в точках.

9. Пусть плоскость не проходит через начало координат, и расстояние от точки до равно, и пусть – единичный нормальный вектор, проведенный из точки в направлении плоскости, – его направляющие косинусы.

Тогда уравнение этой плоскости имеет вид

.

Это уравнение называется нормальным уравнением плоскости. Вывод уравнения с небольшими изменениями повторяет вывод нормального уравнения прямой.

Чтобы из общего уравнения плоскости получить ее нормальное уравнение, необходимо умножить его на число

,

где знак берется противоположным знаком.

Пример 6. Нормальное уравнение плоскости имеет вид

.

Здесь

.

Теорема. Расстояние от точки до плоскости определяется формулой:

.

Пример 7. Напишем уравнения плоскостей и, параллельных плоскости и находящихся на расстоянии от нее. Учитывая следствие, уравнения плоскостей получим из соотношения:

Следовательно,

Определение. Величина называется отклонением точки от плоскости.

Плоскость разбивает все пространство на два полупространства, в одном из которых положительно и совпадает с, а в другом и. Эти полупространства определяются соответственно неравенствами:

и.

Несложно проверить, что нормальный вектор, проведенный из любой точки плоскости, указывает на полупространство.

Дата добавления: 2014-10-17