Общее уравнение кривой второго порядка

Парабола.

Пусть на плоскости имеется прямая (директриса) и точка (фокус) на расстоянии от директрисы. Пусть имеет уравнение, фокус - координаты.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фокуса совпадает с расстоянием до директрисы (см. рис. 2.19).

Пусть - проекция точки на директрису. Из условия выведем уравнение параболы:

.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы, а число ее параметром.

O

Рис. 4.8

Парабола проходит через точкой, которая называется ее вершиной. Ось является осью симметрии параболы. Эксцентриситет параболы всегда считается равным единице. Асимптот у параболы нет.

Замечание 1. Пусть

а) Уравнение определяет параболу с фокусом и директрисой (см. рис. 4.9);

в) Уравнение определяет параболу с фокусом и директрисой (см. рис. 4.10);

с) Уравнение определяет параболу с фокусом и директрисой (см. рис. 4.11);

Во всех отмеченных случаях вершина параболы находится в начале координат.

Рис. 4.9

Рис.4.10

Рис. 4.11

Пример 1. Найдем параметр, фокус и директрису параболы. Поскольку, то. В соответствии с пунктом а) замечания 1 фокус параболы находится в точке, а уравнение директрисы есть.

Замечание 2. Уравнение

определяет параболу с вершиной в точке, полученную путем параллельного переноса параболы. Подобные уравнения:

определяют параболы с вершинами в точке, направление ветвей, которых соответствует соответствующему направлению ветвей парабол из замечания 1.

Пример 2. Найдем вершину, параметр, фокус и директрису параболы

.

Выделив полный квадрат по переменной х, получим:

;

;

.

Поэтому вершина параболы имеет координаты, параметр и ветви параболы направлены вниз (случай с). Фокус параболы смещен на величину ниже вершины и имеет координаты, ее директриса расположена выше вершины и имеет уравнения (рис. 4.12)

Рис. 4.12

Пример 3. Тело, брошенное под углом к горизонту вблизи поверхности земли, при отсутствии сопротивление воздуха движется по траектории, имеющей форму параболы, направленной ветвями вниз.

Приведем без доказательства следующую теорему, дающую единый подход к определению эллипса, гиперболы и параболы.

Рис. 4.13

Теорема. Пусть на плоскости заданы прямая (директриса) и точка (фокус), не лежащая на. Пусть задано число (эксцентриситет). Тогда геометрическое место точек плоскости таких, что отношение расстояние от до к расстоянию от до равно, является:

а) эллипсом, при;

в) гиперболой, при;

с) параболой, при.

(см. рис. 4.13)

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

.

Здесь хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Это уравнение называется общим уравнением кривой второго порядка.

Если на плоскости должным образом выбрать систему координат, то в этой системе координат уравнение кривой примет канонический вид одной из кривых, рассмотренных выше (кроме нескольких вырожденных случаев).

Теорема. Для любой кривой второго порядка найдется декартова система координат, в которой уравнение кривой примет один из следующих видов. (Здесь).

1) - (эллипс);

2) - (гипербола);

3) - (парабола);

4) - (точка);

5) или (пустые множества);

6) (пара пересекающихся прямых) и.

7) (пара параллельных прямых).

8) (прямая – ось).

Дата добавления: 2014-10-17