Підмножини. Універсальна множина

Означення 1.1.3. Множину A називають підмножиною множини B тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить і множині B.

Позначують A Í B або B Ê A. Читають: “множина A міститься у множині B ”, “множина В містить множину А ”. Знаки Í і Ê називаються знаками включення або нестрогої нерівності.

Якщо A Í B, однак A ¹ B, то пишуть A Ì B і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак Ì (або É), на відміну від знака Í (або Ê), називається знаком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується A Í A. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто ÆÍ A (зокрема, ÆÍÆ). Множини А і Æ називають невласними підмножинами множини А, всі інші – власні.

Слід чітко розуміти різницю між знаками Î і Í та не плутати ситуації їхнього вживання. Для будь-якого об’єкта x виконується x ÏÆ.

Наприклад,

{ a, b }Í{{ a, b },{ b, c }}, a Î{ a, b }, { c }Ï{ a, c }, { a }Í{ a, b }.

Властивості підмножин:

§ – рефлексивність;

§ якщо і , то – антисиметричність;

§ якщо і , то – транзитивність.

Разом з множиною А іноді доводиться мати справу з множиною всіх її підмножин, яку на честь Джорджа Буля назвали буліаном множини А і позначають ß (А). Отже, за означенням:

.

Наприклад, якщо , то .

Зауважимо, що якщо множина А має п елементів, то буліан міститиме елементів, через що його називають множиною-степенем множини А.

У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі – множину комплексних чисел C, в арифметиці – множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії – множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

У процесі вивчення множин зручно застосовувати так звані діаграми Ейлера-Венна. На них універсальну множину схематично зображують у вигляді прямокутника, а різні її підмножини – у виглядів кругів чи інших фігур всередині цього прямокутника. Наприклад, на даному рисунку зображено універсальну множину Е та її підмножини A, B i C, причому .

Дата добавления: 2014-10-17