Декартовий (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Означення 1.2.2. Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A ´ B) називають множину всіх пар , в яких перша компонента належить множині A (a Î A), а друга – множині B (b Î B).

Тобто

A ´ B = {| a Î A і b Î B } або Î A ´ B Û

Декартовий добуток природно узагальнюється на випадок довільної сукупності множин. Якщо A ₁, A ₂,..., A_n – множини, то їхнім декартовим добутком називають множину

D = { á a ₁, a ₂,..., a_n ñ | a ₁Î A ₁, a ₂Î A ₂,..., a_n Î A_n },

яка складається з усіх наборів á a ₁, a ₂,..., a_n ñ, в кожному з яких i -й член, що називається i-ю координатою або i-ю компонентою набору, належить множині A_i, i =1,2,..., n. Декартовий добуток позначається через A ₁´ A ₂´...´ A_n.

Як зазначалося, набір á a ₁, a ₂,..., a_n ñ, щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a ₁, a ₂,..., a_n, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі á a ₁, a ₂,..., a_n ñ і á b ₁, b ₂,..., b_n ñ однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i = b_i, i =1,2,..., n.

Декартовий добуток множини A на себе n разів, тобто множину A ´ A ´...´ A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають Aⁿ.

Прийнято вважати, що A ⁰ = Æ (n =0) і A ¹ = A (n =1).

Наприклад, якщо A = { a, b } і B = { b, c, d }, то

A ´ B = {(a, b),(a, c),(a, d),(b, b),(b, c),(b, d)},

A ² = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}.

Якщо R – множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R ² – це множина пар (a, b), де a, b Î R, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

Операція декартового добутку неасоціативна і не комутативна, тобто множини (A ´ B)´ C і A ´(B ´ C), а також множини A ´ B і B ´ A, у загальному випадку, не рівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:

1. (A È B) ´ C = (A ´ C) È (B ´ C),

2. (A Ç B) ´ C = (A ´ C)Ç(B ´ C),

3. A ´ (B È C) =(A ´ B) È (A ´ C),

4. A ´ (B Ç C) =(A ´ B)Ç(A ´ C).

Дата добавления: 2014-10-17