Малюнок № 8.8

3) вправи, які нагадуватимуть дітям способи складання таблиць, наприклад:

- як можна довести рівність? 56:8=7;

- доведіть, що 64:8+12=20;

- з кожного прикладу на множення складіть приклад на ділення на 6: 4·6=24, 6·9=54;

- як пояснити, що 81:9=9;

4) завдання, які вимагають оперативного застосування знань відповідних табличних випадків ділення, наприклад:

- виконайте обчислення 67+45:9, 72:8-7;

- числа 8, 16, 24, 32 зменшіть на 8, а числа 64, 56, 48, 40 зменшіть у 8 разів (окрім того, що вправи такого виду сприяють запам’ятовуванню табличних випадків, вони формують з використанням прийому зіставлення і протиставлення відношення “зменшити на...” і “зменшити у... ”);

- порівняти число і вираз 8 * 81: 9, 9 * 72: 8;

5) завдання, в яких табличні випадки ділення доводиться застосовувати у різних ситуаціях, наприклад:

- до розв'язування кругових прикладів;

- при відшуканні допущених у заданих прикладах помилок;

- при розв’язуванні рівнянь на знаходження невідомого множника чи дільника: у·6=42, 56:х=8 тощо.

Суттєво, щоб вчитель при роботі з кожною вправою, розумів її дидактичне призначення і усвідомлював, що часто кожна вправа має не одну, а принаймні дві дидактичні мети.

Завдання для самостійної роботи студентів: 1. На основі аналізу нині діючого підручника з математики випишіть систему вправ для використання та запам’ятовування таблиці множення числа 5 і ділення на 7. Опишіть методику використання кожної вправи! 2. Проаналізувавши системи вправ підручника і методичних посібників для вчителів, спробуйте встановити відмінності у вивченні таблиць ділення на 2 і 3 та таблиць ділення на числа 4, 5, 6, 7, 8, 9.

8.13. Теоретико-методичні основи вивчення особливих випадків множення і ділення з числами 0, 1, 10.

8.13. Аналіз методичної літератури дозволяє зробити висновок про те, що випадки множення і ділення з числами 0, 1, 10 називаються по-різному. Деякі методисти називають їх особливими випадкам множення і ділення, а інші відносять до позатабличних випадків множення і ділення. Не зупиняючись на доцільності застосування того чи іншого терміну, ми будемо на боці тих науковців, які відносять вказані випадки множення і ділення до особливих. Проаналізувавши підручники з математики для початкової школи і методичні посібники для вчителів, можна твердити, що ознайомлення учнів з цими випадками множення і ділення відбувається на індуктивній основі з використанням або конкретного змісту дій множення чи ділення, або на основі зв'язку, який існує між цими діями, або з допомогою правила. Розглянемо сутність роботи з ознайомлення школярів з цими випадками. При вивченні цього матеріалу учні застосовуватимуть знання, які одержали раніше, у змінених умовах, що призведе до кращого усвідомлення. Крім того, вони оволодіють рядом обчислювальних прийомів, на основі яких швидко знаходитимуть результати, а тому відпаде необхідність у заучуванні цих результатів.

Випадки множення чисел 0, 1 і 10 розкриваються на основі конкретного змісту дії множення як додавання однакових доданків. Вчитель пропонує дітям знайти добуток 1·5. Якщо діти не запропонують спосіб обчислення 1·5=1+1+1+1+1, то вчитель попросить їх замінити приклад на множення прикладом на додавання. Отже, діти отримають 1·5=5. Після цього вчитель повинен запропонувати дітям відповісти на запитання: чому дорівнював перший множник? – 1. Чому дорівнював другий множник? – 5. Що можна сказати про другий множник і одержаний добуток? – вони однакові. Що ми одержали при множенні 1 на число 5? – число 5. (тут вчителеві дуже важливо уточнити: при множенні одиниці на 5 у добутку дістанемо 5, тобто число, на яке множили. Пізніше важливо узагальнювати висновок у формі: при множенні одиниці на будь-яке число у добутку дістанемо число, на яке множили). Аналогічно розглядається кілька прикладів виду 1·4, 1·3, 1·8, 0·2, 0·5, 0·9 тощо. Підсумком проведеної роботи повинні стати сформульовані відповідні правила, які узагальнюються у вигляді символічного запису (див. таблицю № 8.33.). Ці правила діти повинні поступово засвоїти у процесі виконання обчислень.

Таблиця № 8.33.

При множенні одиниці на будь-яке число у добутку дістаємо число, на яке множили одиницю	1 · а = а
При множенні нуля на будь-яке число у добутку дістаємо нуль	0 · а = 0

Чому випадки множення числа на одиницю і числа на нуль не можна подати так само як і попередні випадки? – по-перше, не можна використати конкретного змісту дії множення як додавання однакових доданків, бо довелося б тлумачити розуміння суми з одним доданком (4·1=4+???); по-друге, ще не можна використати переставної властивості додавання, бо вона у новій числовій множині “Тисяча” ще не розглядалася. Саме тому випадки множення на 0 і 1 зразу ж подають у вигляді правил, які узагальнюються у символічній формі (див. таблицю № 8.34.).

Таблиця № 8.34.

При множенні будь-якого числа на одиницю у добутку маємо те саме число	а · 1 = а
При множенні будь-якого числа на нуль у добутку дістаємо нуль	а · 0 = 0

Як же вводяться випадки ділення на 1 і випадки ділення рівних чисел? – на індуктивній основі з використанням зв'язку між діями множення і ділення. Пропонуємо учням з прикладу на множення 1·7=7 скласти два приклади на ділення. Якщо школярі не зможуть зробити цього самостійно, то проводимо таку роботу: як знайти другий множник 7? – слід 7:1. Який приклад на ділення при цьому дістанемо? – 7:1=7. Чому дорівнює ділене? – 7. Чому дорівнює дільник? – 1. Що дістанемо, якщо ділене 7 поділимо на дільник, що дорівнює 1? – одержимо число, що дорівнює 7, тобто діленому. Розглянувши аналогічно кілька таких самих прикладів, пропонуємо учням сформулювати загальне правило: при діленні будь-якого числа на одиницю дістанемо це саме число. Це правило узагальнюється у вигляді символічного запису а:1=а. Аналогічно одержується правило і символічний запис а:а=1. Так само вводиться правило ділення нуля на будь-яке число та відповідний символічний запис 0:а=а.

Ознайомлюючи дітей з правилами ділення на 1, ділення рівних чисел та ділення нуля, ми використовували зв’язок між діями множення і ділення, а тому у дітей може виникнути запитання: а чому з прикладу на множення 0·3=0 ми складали лише один приклад на ділення 0:3=0? У цьому випадку вчитель пояснює дітям, що в математиці ділити на нуль не можна, бо не можна, наприклад, 6 поділити на 0, адже не існує такого числа, при множенні якого на 0 дістанемо 6. Отже, будемо користуватися правилом: ділити на нуль не можна.

Як же ввести випадки множення і ділення на 10? – можна або використати конкретний зміст дії множення (як?), або переставну властивість множення (як?), або звести ці випадки до табличних (як?). Випадки ділення на 10 вводяться на індуктивній основі з використанням зв'язку між діями множення і ділення. Для з'ясування конкретної суті роботи відішлемо читачів до аналізу методичних посібників для вчителів і підручників з математики для початкових класів, зазначивши, що ця робота завершується формулюванням таких правил: 1. Щоб помножити число на 10, треба до нього справа приписати один нуль. 2. Щоб поділити кругле число на 10, треба в ньому відкинути справа один нуль.

Спостереження за роботою вчителів, аналіз методичної літератури, проведені дослідження дозволяють зробити обґрунтований висновок про необхідність використання для особистісної зорієнтованості навчального процесу певних завдань. Доцільність їх використання обумовлюється, з одного боку, індивідуальними особливостями молодших школярів, а з другого – психологічними закономірностями, одержаними у результаті експериментальних досліджень.

Які ж закономірності є ТМО використання таких завдань? Д.Богоявленський і Н.Менчинська обґрунтували значні відмінності у гнучкості або рухливості мислення школярів. Названі якості особистості проявляються у доцільному варіюванні способу дії, у легкості перебудови знань і навичок при зміні умов, у швидкому переключенні з одного способу до іншого, у здатності переходити з прямого ходу думки на зворотний. Завдяки недостатній рухливості мислення учні з пониженими здібностями при розв’язуванні завдань іншим способом, при складанні оберненої вправи та при її розв’язуванні потребують допомоги вчителя. Найскладнішими етапами роботи над завданнями для цих учнів є аналіз завдання та пошук способів його розв’язання. Для того, щоб допомогти дітям при аналізі завдання, слід використовувати підготовчі вправи, допоміжні запитання і вказівки, схеми і ілюстрації. Саме це повинен враховувати вчитель, формуючи систему вправ, яка використовуватиметься.

Як відомо, при виконанні вправ школярам можна пропонувати завдання, які передбачають різні види діяльності: діяльність за зразком, застосування знань в аналогічних умовах, перенос знань, творча діяльність. Для розвитку учнів, які здатні виконувати навчальну діяльність на творчому рівні, необхідно використовувати завдання, що виходить за межі програми. Їх використання сприятиме реалізації особистісно-зорієнтованого підходу до організації навчального процесу. Після того, як школярі засвоїли правило ділення на 10, їм слід запропонувати вправи такого типу:

1) як зміняться числа 1000, 2000, 5000, 70000, якщо у їх записі відкинути справа один нуль? Два нулі? Три нулі?;

2) запиши числа 4000, 40000, 400000 у вигляді добутків, одним з множників якого є число 10;

3) дано числа 8750, 9741, 9000, 8300, 5724, 51320. Випиши числа, які без остачі діляться на 10. Запиши з ними можливі приклади на ділення на 10;

4) серед чисел 8000, 82710, 2700, 2707, 45730, 95002, 375000 назви числа, які можна записати у вигляді добутку, де одним з множників буде число 10;

5) склади з кожного прикладу на ділення 380:10=38, 700:10=70, 5400:10=540 приклад на множення;

6) запиши можливі приклади на множення і ділення, використовуючи наступні числа: 1, 10, 20, 100, 1000;

7) склади можливі рівняння, використовуючи числа 2, 10, 20, 100, х та розв’яжи їх.

Експериментальними дослідженнями доведено, що особистісній спрямованості при формуванні обчислювальних прийомів сприяють, з одного боку, досконалий підбір вправ, які потрібно використовувати на різних стадіях формування обчислювальних навичок, а з другого - вдалий підбір числового матеріалу до них. Для слабших учнів надзвичайно важливу роль відіграють зразки виконання завдань. Їх по суті доцільніше використовувати тоді, коли відбувається первинне закріплення. Зразки оформлення розв’язання математичного завдання більше необхідні на етапах закріплення, повторення та узагальнення знань, вмінь і навичок. Наприклад, для вправи “збільш у 10 разів кожне з чисел ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9” зразок може мати вигляд, який представлено у таблиці № 8.35. З його допомогою учні знатимуть відповіді на такі запитання: чи записувати дані числа? Чи записувати обчислення? Чи записувати результати? Як розміщувати записи? Прикладами інших зразків можуть бути такі (див. таблицю 8.36.).

Таблиця № 8.35.

1·10=10	2·10=ÿ	3·ÿ=ÿ	4·ÿ=ÿ	ÿ·ÿ=ÿ	ÿ·ÿ=ÿ

Таблиця № 8.36.

Числа	Сума	Добуток
10, 6	10 + 6	10 · 6 = ÿ
10, 5	10 + ÿ	ÿ · 5 = ÿ
10, 7	ÿ + ÿ	ÿ · ÿ = ÿ

Експериментальними дослідженнями доведено, що на етапі формування умінь і навичок необхідно проводити узагальнення одержаних знань, умінь і навичок. З цією метою використовується узагальнююче повторення, але, як свідчить досвід роботи вчителів, певна частина учнів втрачає до цього часу мотивацію до роботи над знайомим матеріалом. Саме з огляду на сказане виникає необхідність при проведенні узагальнюючого повторення широко використовувати стимули, які викликають пізнавальний інтерес учнів до пройденого матеріалу. До таких стимулів відносять новизну змісту, цікавість і емоційність матеріалу, використання наочних посібників, різноманітних форм опитування, дидактичних матеріалів, прийомів порівняння і протиставлення, дидактичних ігор. З метою особистісної орієнтації навчального процесу для закріплення навичок відповідно до індивідуальних особливостей школярів роботу слід проводити так: сильніші учні повинні скласти подібні приклади, інші – виконують, кілька вправ, користуючись зразком, а найслабші учні розв’язують приклади під керівництвом вчителя. Після цього перевіряються всі завдання, але пояснення дають учні, які працювали за другим чи третім варіантом.

Завдання для самостійної роботи студентів: 1. На основі аналізу методичних посібників для вчителів та підручників з математики розробіть щонайменше два варіанта проведення фрагменту уроку при ознайомлення дітей з випадками множення десяти на одноцифрове число, наприклад 10·3. 2. Описати можливі варіанти введення правила ділення нуля на будь-яке число та відповідного символічного запису 0:а=0. 3. Підготувати фрагмент уроку для ознайомлення учнів з випадками ділення круглих чисел на 10. 4. На основі аналізу системи вправ підручника та методичних посібників для вчителів виписати систему завдань, які використовуються для засвоєння учнями особливих випадків множення і ділення та описати методику роботи над кожною з вправ.

8.14. Теоретико-методичні основи вивчення ділення з остачею.

8.14. А чи є потреба ознайомлювати молодших школярів з діленням з остачею? – так, бо, по-перше, цей вид ділення є підготовкою учнів до письмового ділення; по-друге, з ним доводиться зустрічатися у повсякденному житті чи не частіше, ніж з діленням без остачі; по-третє, у своєму дошкільному житті та у практичній діяльності діти вже зустрічалися з таким діленням. Саме тому потрібно підвести під нього відповідну теоретичну базу та систематизувати й узагальнити наявні в учнів знання, уміння і навички. Коли школярі розглядали попередні випадки ділення, то вони за двома числами, – діленим і дільником – одержували одне число – частку. Особливістю ж ділення з остачею, яка навіть зовнішньо відрізняє його від ділення без остачі, є те, що для кожних двох чисел (діленого і дільника) ми отримуємо також два числа: частку і остачу. Отже, враховуючи вказані обставини, вчитель повинен розпочинати роботу з ознайомлення учнів з дією ділення з остачею.

На формування в учнів конкретного змісту дії ділення з остачею та на формування уявлень дітей про цей вид ділення відводиться 2-3 уроки. А потім ця робота проводиться при вивченні інших відомостей. З метою кращого усвідомлення дітьми відмінностей між двома видами ділення, ознайомлення школярів з новим видом ділення слід провести з використанням прийому зіставлення і протиставлення. Для цього пропонуємо учням практично розв’язати дві задачі, одна з яких розв’язується дією ділення без остачі, а інша – за допомогою ділення з остачею. Вивчення досвіду роботи вчителів дає підстави для висновку про доцільність використання з метою особистісної орієнтації навчального процесу спочатку практичних вправ з наочністю, а потім вже використовувати текстову задачу. Наприклад: 1) візьміть 8 кружечків і розкладіть їх порівну у два ряди; 2) візьміть 9 кружечків і розкладіть їх порівну у два ряди; 3) візьміть 15 трикутників і розкладіть їх порівну у чотири ряди. Використання таких вправ дозволить підвести дітей до необхідності введення ділення з остачею.

Роботу над вказаними вправами з учнями, які не можуть виконати їх самостійно, необхідно провести так: скільки геометричних фігур потрібно покласти у перший рядок? Відлічіть стільки фігур і покладіть їх у перший рядок. Скільки фігур слід покласти у другий рядок? Відлічіть їх і покладіть у другий рядок тощо. Чи залишилися у нас ще фігури? Завдяки цьому учні переконуються, що таке завдання виконати неможливо, бо є зайві фігури. Після цього вчитель запитує: якою дією треба було б записувати розв’язання таких вправ? – дією ділення, яка відрізняється від тієї, яку ми розглядали раніше.

Потім вчитель повідомляє, що сьогодні ми познайомимося з новим видом ділення. Для того, щоб зрозуміти його сутність, розв’яжемо схожу задачу практично. Пропонуємо школярам практично розв’язати наступну задачу: “18 квіток розставили у вази по 7 у кожну. Скільки квіток є у кожній вазі? Скільки квіток залишилося?” (підбираючи задачі, вчитель повинен врахувати наступне: у першій задачі ділене, дільник, частка і остача повинні виражатися різними числами, щоб у дітей не сформувалися неправильні уявлення). Вчитель проводить роботу так: скільки квіток поставимо у першу вазу? – 7. Чи залишилися у нас ще квітки? – так. Скільки квіток поставимо у другу вазу? – 7. Чи залишилися у нас ще квіти? – так. Скільки квіток у нас залишилося? – 4. Чи поділилося число 18 на 7? – не поділилося. За допомогою якою дії ви б записали розв’язання цієї задачі? – якщо школярі не дадуть відповіді, то вчитель повідомляє, що розв’язання цієї задачі в математиці записують за допомогою нової арифметичної дії: дії ділення з остачею так: 18:7=2(ост.4). Як би ви назвали число 18? Число 7? Число 2? Число 4? Якщо учні не назвуть правильно всі числа, то вчитель повинен повідомити, що число 20 називається діленим, число 7 – дільником, число 2 – часткою, а число 4 називають остачею. Після цього повідомляється, що приклади на ділення з остачею читаються так: 18 поділити на 7, в частці буде 2 і в остачі 4. Вже при першому ознайомленні з дією ділення з остачею слід розпочинати формувати уявлення дітей про те, що остача менша за дільник. Чому дорівнює дільник? – 7. Чому дорівнює остача? – 4. Що можна сказати про дільник і остачу? – остача менша, ніж дільник. Ознайомивши дітей з новою дією, розпочинаємо роботу з формування уявлень дітей про дію ділення з остачею.

Яка ж система вправ використовується для цього? – аналіз системи вправ підручника та методичних посібників для вчителів, вивчення досвіду роботи вчителів свідчать, що до неї входять принаймні наступні завдання: 1) користуючись малюнком, виконай ділення з остачею (див. малюнок 8.9.). Розглядаючи такі вправи, вчитель повинен провести таку роботу: що зображено на малюнку? Скільки всього кружечків зображено на малюнку? - 17. На які групи їх поділено? – на групи по 3 кружечки. Чи є групи, в яких менше чи більше кружечків? – так, є група, у якій два кружечка. Який приклад можна скласти за цим малюнком? – приклад на ділення з остачею 17:3=5(ост.2).

Дата добавления: 2014-10-17