Лекція 10 Задачі на складання диференціальних рівнянь

Задача 1. Моторний човен рухається у спокійній воді зі швидкістю 1.5 м/с. Через 4с після вимкнення двигуна його швидкість зменшилась до 1 м/с. Враховуючи опір води пропорційний швидкості руху човна, знайти його швидкість через 50с після вимкнення двигуна.

Розв’язування. Нехай – швидкість човна після вимкнення двигуна в момент часу . Тоді залежність між і має вигляд , де - маса човна.

Задача 2. За 10 хвилин тіло охолоджується від 100^о до 60^о. Температура навколишнього повітря дорівнює 20^о. Враховуючи, що швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла і навколишнього повітря, визначити, за який час тіло охолоджується до 30^о.

Розв’язування. Нехай - температура тіла у момент часу . Тоді диференціальний закон охолодження тіла має вигляд: .

Задача 3. Швидкість розпаду радія пропорційна його кількості . Знайти закон розпаду радія, якщо відомо, що через 1600 років залишиться половина початкової кількості. Який відсоток радія розпадеться через 100 років?

Розв’язування. Нехай - кількість радія в момент часу , а - його початкова кількість. Тоді - швидкість розпаду радія і є від’ємна величина, так як зі зростанням спадає.

Залишилося знайти і .

Задача 4. У резервуар, який містить 10л води, неперервно поступає зі швидкістю 2л/хв розчин, у кожному літрі якого міститься 0.3 кг солі. Цей розчин перемішується з водою, і суміш витікає з резервуару з тією ж швидкістю. Скільки солі буде містити резервуар через 5 хвилин?

Розв’язування. Нехай кг – кількість солі в резервуарі через хвилин. Визначимо, на скільки зміниться кількість солі в резервуарі за нескінченно малий проміжок часу від моменту до моменту . За час в резервуар поступає л розчину, в якому міститься кг солі. За цей проміжок часу з резервуара витікає л розчину. Враховуючи концентрацію суміші протягом цього проміжку часу незмінною і рівною кг солі. Таким чином, зміна кількості солі у резервуарі за час дорівнює різниці знайдених величин:

Відповідь: через 5 хвилин резервуар буде містити 1,9 кг солі.

Задача 5. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку (а; а), якщо довжина відрізку осі абсцис, що відтинається її дотичною, дорівнює довжині цієї дотичної.

у

у

х x

Рисунок 4

Розв’язування. За геометричним змістом похідної , де - кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції . З іншого боку, (рис.4)

Отже, . Із

За умовою задачі .

Із

Дата добавления: 2014-10-17