Лекція 3 Лінійні диференціальні рівняння. Рівняння Бернуллі

Означення

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

(3.1)

де і- задані функції.

В окремому випадку іможуть бути сталими величинами.

Це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки . Тоді . Підставимо і в (3.1). Маємо:

(3.2)

Оскільки у виразі для один множник можна вибрати довільно, а другий підібрати, то нехай . Звідки знаходимо . З рівняння (3.2), підставляючи знайдений вираз , знаходимо .

Загальний розв’язок записуємо у вигляді .

Приклад 1

Розв’язати рівняння

Лінійне диференціальне рівняння (3.1) можна розв’язувати ще методом Лагранжа – методом варіації довільної сталої.

Якщо у рівняння (3.1) , то таке рівняння називається однорідним лінійним.

Розглянемо його:

(3.4)

Знайдемо загальний розв’язок (3.4), відокремлюючи змінні:

; (3.5) - загальний розв’язок однорідного рівняння.

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (3.1) можна знайти так:

візьмемо в (3.5) , знайдемо :

Підставимо і в (1):

Загальний розв’язок (3.1) буде мати вигляд:

Приклад 2

Означення

Диференціальним рівнянням Бернуллі називається рівняння вигляду:

(3.6)

де , а і - неперервні для всіх .

При рівняння (3.6) переходить в лінійне, а при - в рівняння з

відокремлюваними змінними.

Диференціальне рівняння Бернуллі можна звести до лінійного.

Помножимо обидві частини рівняння (3.6) на . Маємо:

(3.7)

Нехай . Тоді . Згідно з (3.7) дістанемо

, звідси

Маємо лінійне рівняння:

Зауваження.

Для розв’язку рівняння Бернуллі не обов’язково зводити його до лінійного. Можна відразу починати з заміни .

Приклад 3

Дата добавления: 2014-10-17