Приклад 2. Лекція 5 Диференціальні рівняння, що не розв’язуються відносно похідної

Лекція 5 Диференціальні рівняння, що не розв’язуються відносно похідної. Рівняння Лагранжа, Клеро

1 Рівняння виду інтегруємо в параметричній формі, якщо покласти і прийняти за параметр (- параметр, його не розглядають як похідну), через який слід виражати як , так і .

. Диференціюємо це рівняння: , а так як , то та знаходимо інтегруванням: .

Таким чином, в параметричній формі розв’язок рівняння запишеться у вигляді:

2 Рівняння виду розв’язується аналогічно:

Загальний розв’язок рівняння запишемо у вигляді:

Якщо можливо, то виключаємо параметр і знаходимо загальний інтеграл рівняння.

Приклад 1

Загальний розв’язок має вигляд:

З другої рівності: , підставляємо у першу рівність:

3 Рівняння Лагранжа – це диференціальне рівняння першого порядку, лінійне відносно і , коефіцієнтами якого є функції від :

Рівняння Лагранжа інтегруємо наступним чином. Розв’яжемо його відносно і візьмемо за параметр :

Диференціюємо і заміняємо через :

Це рівняння – лінійне відносно (як функції від ) і тому може бути проінтегроване. Якщо його розв’язок , то загальний розв’язок рівняння Лагранжа буде у вигляді:

4. Рівняння Клеро – це рівняння виду , яке є окремим випадком рівняння Лагранжа. Інтегруючи його, легко отримати загальний розв’язок , який визначає сім’ю прямих на площині.

Але рівняння Клеро має ще й особливий розв’язок:

Особливий розв’язок рівняння Клеро (він існує, коли ) є обвідною сім’ї прямих, що визначаються загальним розв’язком. Іншими словами, загальним розв’язком рівняння Клеро є сім’я дотичних до особливого розв’язку.

Рівняння Лагранжа також може мати особливі розв’язки, причому особливими розв’язками цього рівняння (якщо вони існують) є загальні дотичні до кривих, що визначаються загальним розв’язком.

Дата добавления: 2014-10-17