Інтегрувальний множник

Лекція 4 Диференціальні рівняння в повних диференціалах.

Рівняння вигляду

(4.1)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції , тобто якщо

Справді, в даному випадку

тобто , диференціюємо вираз для по , а для по . Якщо мішані похідні рівні: , то .

Запишемо (4.1) у вигляді , звідки . Знайдемо функцію . Для цього зінтегруємо по :

.

Цей вираз диференціюємо по і скористаємось тим, що . Дістанемо:

,

або ; звідки .

Зінтегруємо цю рівність і підставивши , знайдемо остаточно:

Загальний же інтеграл рівняння в повних диференціалах має вигляд:

Якщо умова не виконується, то в деяких випадках можна привести рівняння (4.1) до вказаного типу множенням його на інтегрувальний множник, який в загальному випадку буде функцією від і : .

Якщо в даному рівнянні існує інтегрувальний множник, який залежить тільки від , то він знаходиться за формулою: ; де - повинно бути функцією тільки від . Аналогічно інтегрувальний множник, що залежить тільки від , визначається за формулою: ; де - функція тільки від (відсутність в цих відношеннях в першому випадку , а в другому є ознакою існування інтегрувального множника).

Приклад 1

Ліва частина є повний диференціал деякої функції , тобто

Проінтегруємо по :

Продиференціюємо по :

Прирівняємо до і отримаємо рівняння: ; звідки знаходимо

Загальний інтеграл має вигляд: .

Приклад 2

Рівняння має інтегрувальний множник, який залежить тільки від .

Помножимо задане рівняння на : .

Це рівняння в повних диференціалах, так як

Ліва частина нового рівняння дорівнює

Таким чином,

Інтегруємо першу з цих рівностей по , отримаємо:

Знайдемо похідну по від одержаної функції:

Порівнюємо з і знаходимо

Загальний інтеграл має вигляд:

Дата добавления: 2014-10-17