Элементарные преобразования над матрицами

Алгоритм вычисления обратной матрицы. (Метод присоединенной матрицы).

1) Находим . Если =0, то матрица вырожденная и А^-1 не существует. Если , то А невырожденная и А^-1 существует.

2) Находим А^Т.

3) Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы , (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n) и составляем из них присоединенную матрицу : (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n).

4) Вычисляем обратную матрицу по формуле (10).

5) Проверяем правильность вычисления А^-1 по определению:А^-1А=Е.

Пример. А=, -5, А^Т=

А₁₁=-4 А₁₂=3 А₁₃=-5 А₂₁=-8 А₂₂=6 А₂₃=-5 А₃₁=-5 А₃₂=5 А₃₃=-5

А^-1=

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1. ; 3. ; 5. (А^-1)^Т=(А^Т)^-1.

2. (А^-1)^-1=А; 4. (АВ)^-1=В^-1А^-1;

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3) Перемена местами двух строк (столбцов) местами.

4) Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А (В~А).

При помощи элементарных преобразований можно найти обратную матрицу к невырожденной матрице А.

Метод элементарных преобразований (метод Гаусса).

Приписывая справа к квадратной матрице А порядка n единичную матрицу такого же порядка. Получим прямоугольную матрицу В=(А|Е) размера nx2n. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы В приведем ее к виду (Е|А^-1).

Пример. А=. Составим матрицу В.

А^-1=

Матричные ур-я. АХ=В, Х=А^-1В , Х=

Дата добавления: 2014-10-17