Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Однородные системы линейных уравнений




Пример с. 75.

Пример.

Т.к. r(A)=r(A*)=2<3=n, то система совместна и неопределенна. Кол-во главных переменных равно r(A)=3, кол-во свободных переменных – (n-r)=1. Выберем ненулевой минор 2-го порядка, например . Его столбцы – 1-й и 2-й столбцы А- соответсвуют переменным х1 и х2, а х3-свободная переменная. Обозначим х3=с, тогда х2=4+2с, х1=-8-с. Частное решение системы при с=0: (-8;4;0)

Достоинства метода Гаусса: 1 ) значительно менее трудоемкий; 2) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения; 3) дает возможность найти ранг матрицы системы.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n переменными:

(15)

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение (0,0,…,0).

Если в системе (15) m=n и , то система имеет только нулевое решение, что следует из теоремы и формул Крамера.

Теорема 1. Однородная система (15) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа переменных,т.е. r(A)<n.

Доказательство. Существование нетривиального решения системы (15) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы системы (т.е. существуют такие числа х1, x2,…,xn, не все равные нулю, что справедливы равенства (15)).

По теореме о базисном миноре столбцы матрицы линейно зависимы Û, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, т.е. Û, когда порядок r базисного минора матрицы меньше числа n ее столбцов. Ч.т.д.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальные решения Û, когда |А|=0.

Теорема 2. Если столбцы х(1)(2),…,х(s) решения однородной системы АХ=0, то любая их линейная комбинация так же является решением этой системы.

Доказательство. Рассмотрим любую комбинацию решений:

х=, lkÎR

Тогда АХ=А()===0. ч.т.д.

Следствие 1. Если однородная система имеет нетривиальное решение, то она имеет бесконечно много решений.

Т.о. необходимо найти такие решения х(1)(2),…,х(s) системы Ах=0, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.

Определение. Система k=n-r (n –количество неизвестных в системе, r=rg A) линейно независимых решений х(1)(2),…,х(k) системы Ах=0 называется фундаментальной системой решений этой системы.

Теорема 3. Пусть дана однородная система Ах=0 с n неизвестными и r=rg A. Тогда существует набор из k=n-r решений х(1)(2),…,х(k) этой системы, образующих фундаментальную систему решений.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы А расположен в верхнем левом углу. Тогда, по теореме о базисном миноре, остальные строки матрицы А являются линейными комбинациями базисных строк. Это означает, что если значения х12,…,xn удовлетворяют первым r уравнениям т.е. уравнениям, соответствующим строкам базисного минора), то они удовлетворяют и другим уравнениям. Следовательно, множество решений системы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r+1)-го. Получим систему:

Перенесем свободные неизвестные хr+1r+2,…,xn в правую часть, а базисные х12,…,xr оставим в левой:

(16)

Т.к. в этом случае все bi=0, то вместо формул

cj=(Mj(bi)-cr+1Mj(ai,r+1)-…-cnMj(ain)) j=1,2,…,r ((13), получим:

cj=-(cr+1Mj(ai,r+1)-…-cnMj(ain)) j=1,2,…,r (13¢)

Если задать свободным неизвестным хr+1r+2,…,xn произвольные значения, то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, у которой существует единственное решение. Т.о., любое решение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями свободных неизвестных хr+1r+2,…,xn. Рассмотрим следующие k=n-r серий значений свободных неизвестных:

=1, =0, …., =0,

=1, =0, …., =0, (17)

………………………………………………

=1, =0, …., =0,

(Номер серии указан верхним индексом в скобках, а серии значений выписаны в виде столбцов. В каждой серии =1, если i=j и =0, если i¹j.

i-й серии значений свободных неизвестных однозначно соответствуют значения ,,…,базисных неизвестных. Значения свободных и базисных неизвестных в совокупности дают решения системы (17).

Покажем, что столбцы еi=, i=1,2,…,k (18)

образуют фундаментальную систему решений.

Т.к. эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Ах=0 и их количество равно k, то остается доказать линейную независимость решений (16). Пусть есть линейная комбинация решений e1,e2,…,ek(1), х(2),…,х(k)), равная нулевому столбцу:

l 1e1+ l2 e2+…+ lk ek ( l1 х (1)+l2 х (2)+…+lk х (k)= 0)

Тогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами r+1,r+2,…,n равны нулю. Но (r+1)-я компоненты равна l11+l20+…+lk0=l1. Аналогично, (r+2)-я компонента равна l2,…, k-я компонента равна lk. Поэтому l1 = l2 = …=lk=0, что и означает линейную независимость решений e1,e2,…,ek ( х(1), х(2),…,х(k)).Ч.т.д.

Построенная фундаментальная система решений (18) называется нормальной. В силу формулы (13¢) она имеет следующий вид:

(20)

Следствие 2. Пусть e1,e2,…,ek -нормальная фундаментальная система решений однородной системы, тогда множество всех решений можно описать формулой:

х=с1 e12 e2 +…+сk ek (21)

где с12,…,сk – принимают произвольные значения.

Доказательство. По теореме 2 столбец (19) является решением однородной системы Ах=0. Остается доказать, что любое решение этой системы можно представить в виде (17). Рассмотрим столбец хr+1 e1 +…+yn ek. Этот столбец совпадает со столбцом у по элементам с номерами r+1,…,n и является решением (16). Поэтому столбцы х и у совпадают, т.к. решения системы (16) определяются однозначно набором значений ее свободных неизвестных xr+1,…,xn, а у столбцов у и х эти наборы совпадают. Следовательно, у = х = уr+1 e1 +…+yn ek, т.е. решение у является линейной комбинацией столбцов e1,…,yn нормальной ФСР. Ч.т.д.

Доказанное утверждение справедливо не только для нормальной ФСР, но и для произвольной ФСР однородной СЛАУ.

Х=c1Х1+c2Х2+…+сn-rХn-r - общее решение системы линейных однородных уравнений

Где Х12,…,Хn-r – любая фундаментальная система решений,

c1,c2,…,сn-r – произвольные числа.

Пример. (с. 78)

 

Установим связь между решениями неоднородной СЛАУ (1) и соответствующей ей однородной СЛАУ (15)

Теорема 4. Сумма любого решения неоднородной системы (1) и соответствующей ей однородной системы (15) является решением системы (1).

Доказательство. Если c1,…,cn – решение системы (1), а d1,…,dn - решение системы (15), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c1+d1,…,cn+dn, получим:

=+=bi+0=bi ч.т.д.

Теорема 5. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (1) является решением однородной системы (15).

Доказательство. Если c¢1,…,c¢n и c²1,…,c²n – решения системы (1), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c¢1-с²1,…,c¢n-с²n, получим:

=-=bi-bi=0 ч.т.д.

Из доказанных теорем следует, что общее решение системы m линейных однородных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (15) и произвольного числа частного решения этой системы (15).

Хнеод.общ. одн.част. неодн. (22)

В качестве частного решения неоднородной системы естественно взять то его решение, которое получается, если в формулах cj=(Mj(bi)-cr+1Mj(ai,r+1)-…-cnMj(ain)) j=1,2,…,r ((13) положить равными нулю все числа cr+1,…,cn,т.е.

Х0=(,…,,0,0,…,0) (23)

Складывая это частное решение с общим решением Х=c1Х1+c2Х2+…+сn-rХn-r соответствующей однородной системы, получаем:

Хнеод.01Х12Х2+…+Сn-rХn-r (24)

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными:

в которой хотя бы один из коэф. aij0.

Для решения исключим х2, умножив первое уравнение на а22, а второе – на (-а12) и сложив их: Исключим х1, умножив первое уравнение на (-а21), а второе – на а11 и сложив их: Выражение в скобках – определитель

Обозначив , , тогда система примет вид:, т.о., если , то система имеет единственное решение: , .

Если Δ=0, а (или ), то система несовместна, т.к. приводится к виду Если Δ=Δ12=0, то система неопределенная, т.к. приводится к виду

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 1217; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.04 сек.