Геометрическая трактовка двойного интеграла

Цилиндроид или цилиндрическое тело — это пространственное тело, ограниченное снизу областью DXOY, сверху — частью поверхности z = f (x,y), сбоку — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Двойной интеграл от функции f (x,y) по области D равен объему цилиндроида

Объем цилиндроида

Для пояснения этого утверждения в определении двойного интеграла (2) проводим следующие геометрические истолкования: f (Pi)∙D Si = D Vi — это объем элементарного цилиндра с основанием D Si и высотой f (Pi); — это объем ступенчатого тела, составленного из элементарных цилиндров (цилиндр отличается от цилиндроида тем, что ограничен сверху плоскостью, параллельной нижнему основанию); — это объем цилиндрического тела, ограниченного сверху частью поверхности z = f (x,y), проецируемой на область D, так как при все площадки уменьшаются (стягиваются в точки) и тем самым «ступенчатость» объёма сверху сглаживается поверхностью z = f (x, y).

Дата добавления: 2014-10-15