Точки экстремума

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Теорема Ферма (необходимое условие существования функции):

Если функция имеет производную в каждой точке промежутка (a; b) и - точка экстремума, то в этой точке производная равна нулю .

На основании теоремы Ферма можно сделать вывод: функция может иметь экстремум только в критических точках. Но обратное утверждение верно не всегда.

Теорема: (достаточное условие существования экстремума):

Пусть функция y = f (x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a; b) и - это критическая точка.

Тогда:

1) если при переходе через точку производная функции изменяет свой знак с ''-'' на ''+'', то точка -это точка минимума.

2) если при переходе через точку производная функции изменяет свой знак с ''+'' на ''-'', то точка - это точка максимума.

Значит, чтобы найти точки экстремума функции y = f (x) на (a; b) нужно:

1) Найти .

2) Найти критические точки функции y=f(x).

3) Определить знак на каждом из промежутков, на которые разделили промежуток (a; b) критические точки.

4) С помощью теоремы, выражающей достаточное условие существования экстремума, найти точки максимума и минимума.

Задача. Найти точки экстремума функции на [-3;3]

1)

2)

3)

4)

x		-1
	+		+		-
				-2
	max		min

Ответ: точка максимума (-1;2), точка минимума (1;-2)

Упражнения

Найти экстремумы функции:

1)

2)

3)

Контрольные вопросы:

1.Необходимое условие возрастания функции на промежутке (a; b).

2.Необходимое условие убывания функции на промежутке (a; b).

3.Достаточное условие возрастания функции на промежутке. (a; b).

4.Достаточное условие убывания функции на промежутке (a; b).

5.Закончить текст:

а) если для всех x (a; b),то...

б) если..., то функция y = f (x) убывает на этом промежутке.

6.Найти промежутки монотонности функции по ее графику

7.В каких точках области определения дифференцируемой функции ее монотонность изменяется: возрастание изменяется на убывание и наоборот?

8.Какие точки называются критическими?

9.Необходимое условие существования экстремума функции.

10. Достаточное условие существования экстремума функции.

11. Какая точка называется внутренней?

12. Какие точки называется точками экстремума?

13. Какая точка называется точкой максимума?

14. Какая точка называется точкой минимума?

Домашнее задание

Заполните в рабочей тетради занятие 3

Дата добавления: 2014-10-22