Решение. В условиях практической необходимости скорость ν реакции 2NO + O2 = 2NO2 выражается формулой ν = kx2y

В условиях практической необходимости скорость ν реакции 2NO + O₂ = 2NO₂ выражается формулой ν = kx²y, где х – концентрация NO в любой момент времени, у – концентрация О₂, k – константа скорости реакции, зависящая только от температуры и не зависящая от концентрации реагирующих компонентов. Концентрацию газов будем выражать в объёмных процентах. В этом случае у = 100 – х и ν = kx²(100 –х). очевидно, 0<x<100. Производная ν^/(х) = (kx²(100 –х))^/ = 2kx(100 – x) - kx² = k(200x – 3x²) между 0 и 100 имеет один единственный корень х = х₁ = 200/3≈66,67. Вторая производная равна

ν^//(х) = (k(200x – 3x²))^/ = k(200 – 6x) и ν^//(х₁)<0. Значит в точке х₁ – максимум функции. Следовательно, скорость реакции наибольшая, когда х = 66,67% и у = 33,33%

Приложения определенного интеграла.

Если известна скорость прямолинейного движения материальной точки

ν = ν(t), то можно найти путь, пройденный этой точкой за промежуток времени от t₀ до Т. В самом деле, из определения ν(t) следует, что эта функция является производной от закона движения точки S = S(t) в момент t и, следовательно, S(t) есть первообразная для ν(t). Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница S(T) – S(t₀) =

Пример: Рассмотрим популяцию бактерий, в которой масса особи меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть β означает возраст в тех или иных единицах времени, а р(β) – число особей популяции, возраст которых равен β. Пусть, наконец, μ(β) – средняя масса особи возраста β, а М(β) – биомасса всех особей в возрасте от 0 до β.

Заметив, что произведение р(β) μ(β) равно биомассе всех особей возраста β, рассмотрим разность М (β + Δ β) – М(β), где Δ β>0.Очевидно, что эта разность, равная биомассе всх особей в возрасте от β до β + Δ β, удовлетворяет неравенствам:

р() μ() Δ β ≤ М (β + Δ β) – М(β) ≤ р() μ() Δ β,

где р() μ() - наименьшее, а р() μ()– наибольшее значения функции, р(β) μ(β) на отрезке [β; β + Δ β]. Учитывая, что Δ β>0, из нашего неравенства имеем: р() μ() ≤ (М (β + Δ β) – М(β)) / Δ β ≤ р() μ().

Из непрерывности функции р(β) μ(β) следует, что

р() μ() = р() μ() = р(β) μ(β).

Поэтому будем иметь (М (β + Δ β) – М(β)) / Δ β = р(β) μ(β).

Или производная от (М (β + Δ β) – М(β)) / Δ β равна р(β) μ(β).

Следовательно, биомасса М(β) является первообразной для функции р(β) μ(β).

Отсюда: М(Т) – М(0) =

Где Т – максимальный возраст особи в данной популяции.

Так как М(0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем

М(Т) = .

Дата добавления: 2014-10-22