Теория эпидемий

Дифференциальные уравнения в области профессиональной деятельности.

Задача 1. (охлаждение тела).

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха 20 ⁰ С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждается от 100 ⁰ С до 60 ⁰ С. Определить закон изменения температуры тела в зависимости от времени t.

Решение:

Согласно условия задачи имеем , где k – коэффициент пропорциональности.

Отсюда илии, значит , что дает и, следовательно .

Для определения С используем начальное условие: при t = 0, = 100.

Отсюда С = 100 - 20 = 80

Поэтому

Коэффициент пропорциональности k определяет из дополнительного условия при t = 20, = 60.

Отсюда или и, следовательно

Итак, искомая функция .

Ограничимся рассмотрением эпидемии простейшего вида. Предположим, что изучаемое заболевание носит длительный характер, так что процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни. Нас будет интересовать именно первый процесс – процесс передачи инфекции. При этом будет предполагать, что заражение особи не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию незараженных.

Пусть а и n – соответственно число зараженных и незараженных в начальный момент, х=х(t) – число незараженных в момент времени t, а у=у(t) – число зараженных к моменту t. Для всех моментов времени из некоторого не слишком большого отрезка 0 ≤ t ≤ T (отрезок [0;Т] должен быть меньше времени жизни одного поколения, тогда в наших уравнениях мы можем не учитывать естественную смертность особей) имеет место равенство х+у=n+a

Так как инфекция передается при встречах зараженных с незараженными, то число незараженных будет учитывать с течением времени пропорционально количеству встреч между теми и другими, т.е. пропорционально ху. Поэтому скорость убывания числа незараженных равна , где β – коэффициент пропорциональности. Подставим в равенство выражение у из х+у=n+a, получим.

Отсюда

Или

откуда

и, значит,

или

, что дает

Для определения С используем начальное условие: при t= 0 число незараженных равно n, т.е. при t = 0, х = n.

Имеем С = и, значит,

Разрешая последнее уравнение относительно х, получим окончательно

Эта формула дает закон убывания х с течением времени.

Дата добавления: 2014-10-22