Демодуляция и обнаружение

Соотношение между скоростью передачи и шириной полосы канала, формула Шеннона.

Лекция №4.

Цель лекции: изучение методов приема бинарных сигналов

Содержание:

1. Соотношение между скоростью передачи и шириной полосы канала, формула Шеннона.

2. Обеспечение высокой удельной скорости передачи дискретных сигналов. Критерий качества, отношение сигнал - шум.

3. Демодуляция/обнаружение цифровых сигналов.

4. Обнаружение двоичных сигналов в гауссовом шуме.

5. Согласованный фильтр.

6. Оценка вероятности ошибки.

Для гауссовского канала с ограниченной мощностью сигнала P_X пропускная способность канала может быть рассчитана по формуле Шеннона:

,

где P_n - мощность помехи.

Пропускная способность определяется отношением мощностей сигнала и помех, а также шириной спектра полезного сигнала. Ограничение пропускной способности непрерывного канала связано с тем, что любые используемые для связи сигналы имеют конечную мощность.

Задача детектора — максимально безошибочно распознать принятый сигнал, насколь­ко это возможно при данном ухудшении качества сигнала в процессе передачи.

В течение данного интервала передачи сигнала T, бинарная узкополосная система передает один из двух возможных сигналов, обозначаемых как g₁(t) и g₂(t). Подобным образом бинарная полосовая система передает один из двух возможных сигналов, обозначаемых как s₁(t) и s₂(t). Поскольку общая трактовка демодуляции и обнаружения, по сути, совпадает для узкополосных и полосовых систем, будем использовать запись s_i(t) для обозначения передаваемого сигнала, вне зависимости от того, является система узкополосной или полосовой. Итак, для любого канала двоичный сигнал, переданный в течение интервала (0, Т), представляется следующим образом.

(1)

Принятый сигнал г(t) искажается вследствие воздействия шума n(t) и, возможно, неидеальной импульсной характеристики канала h_c(t) и описывается следующей формулой (2)

(2)

В нашем случае n(t) предполагается процессом AWGN с нулевым средним, а знак "*" обозначает операцию свертки, Для бинарной передачи по идеальному, свободному от искажений каналу, где свертка с функцией h_c(t) не ухудшает качество сигнала (поскольку для идеального случая h_c(t) - импульсная функция), вид r(t) можно упростить.

i=1,2 0≤t≤T (3)

Типичные функции демодуляции и обнаружения цифрового приемника показаны на рисунке. 1. Некоторые авторы используют термины "демодуляция" и "обнаружение" как синонимы. В данном конспекте они имеют различные значения. Демодуляцию (demodulation) мы определим как восстановление сигнала (в неискаженный узкополосный импульс), а обнаружение (detection) - как процесс принятия решения относительно цифрового значения этого сигнала. При отсутствии кодов коррекции ошибок на выход детектора поступают аппроксимации символов (или битов) сообщений m_i^’ (также называемые жестким решением). При использовании кодов коррекции ошибок на выход детектора поступают аппроксимации канальных символов (или кодированных битов) u'_i, имеющие вид жесткого или мягкого решения. Для краткости термин "обнаружение" иногда применяется для обозначения совокупности всех этапов обработки сигнала, выполняемых в приемнике, вплоть до этапа принятия решения.

Рис. 1. Два основных этапа в процессе демодуляции/детектирования цифровых сигналов.

В блоке демодуляции и дискретизации (рисунок 1) изображен принимающий фильтр (по сути, демодулятор), выполняющий восстановление сигнала» качестве подготовки к следующему необходимому этапу - обнаружению. Фильтрация в передатчике и канале обычно приводит к искажению принятой последовательности импульсов, вызванному межсимвольной интерференцией, а значит, эти импульсы не совсем готовы к дискретизации и обнаружению. Задачей принимающего фильтра является восстановление узкополосного импульса с максимально возможным отношением сигнал/шум (signal-to-noise ratio - SNR) и без межсимвольной интерференции. Оптимальный принимающий фильтр, выполняющий такую задачу, называется согласованным (matched), или коррелятором (correlator).. За принимающим фильтром может находиться выравнивающий фильтр (equalizing filter), или эквалайзер (equalizer); он необходим только в тех системах, в которых сигнал может искажаться вследствие межсимвольной интерференции, введенной каналом. Принимающий и выравнивающий фильтры показаны как два отдельных блока, что подчеркивает различие их функций. Впрочем, в большинстве случаев при использовании эквалайзера для выполнения обеих функций (а, следовательно, и для компенсации искажения, внесенного передатчиком и каналом) может разрабатываться единый фильтр. Такой составной фильтр иногда называется просто выравнивающим или принимающим и выравнивающим.

На рисунке 1 выделены два этапа процесса демодуляции/обнаружения. Этап 1, преобразование сигнала в выборку, выполняется демодулятором и следующим за ним устройством дискретизации, в конце каждого интервала передачи символа Т, на выход устройства дискретизации детекторную точку, поступает выборка z(T), иногда называемая тестовой статистикой. Значение напряжения выборки z(T) прямо пропорционально энергии принятого символа и обратно пропорционально шуму. На этапе 2 принимается решение относительно цифрового значения выборки (выполняется обнаружение). Предполагается, что шум является случайным гауссовым процессом, а принимающий фильтр демодулятора — линейным. Линейная операция со случайным гауссовым процессом дает другой случайный гауссов процесс. Следовательно, на выходе фильтра шум также является гауссовым. Значит, выход этапа 1 можно описать выражением

(4)

где — желаемый компонент сигнала, а — шум. Для упрощения записи выражение (4) будем иногда представлять в виде z = a_i+n₀. Шумовой компонент n₀ - это случайная гауссова переменная с нулевым средним, поэтому z(T) — случайная гауссова переменная со средним a₁ или a₂, в зависимости от того, передавался двоичный нуль или двоичная единица. Плотность вероятности случайного гауссового шума n₀ можно выразить как

(5)

где - дисперсия шума.

Используя выражения (4) и (5), можно выразить плотности условных вероятностей и.

(6)

Эти плотности условных вероятностей показаны на рис. 2. Плотность p(z|s_i), изобра­женная справа, называется правдоподобием s₁ и показывает плотность вероятности слу­чайной переменной z(T) при условии передачи символа Подобным образом функция p(z|s₂ ) (слева) является правдоподобием s₂ и показывает плотность вероятности z(T) при условии передачи символа s₂. Ось абсцисс, z(T), представляет полный диапазон возмож­ных значений выборки, взятой в течение этапа 1, изображенного на рис. 1.

  Рис. 2. Плотности условных вероятностей: p(z|s₁) и р(z|s₂)

Отношение сигнал – шум.

В аналоговой связи часто используется понятие отношени­я средней мощности сигнала к средней мощности шума (S/N или SNR). В цифровой связи в качестве критерия качества чаще используется нормированная версия SNR, E_b/N₀. Е_ь — это энергия бита, и ее можно описать как мощность сигнала S, умноженную на время переда­чи бита Т_b. N₀ — это спектральная плотность мощности шума, и ее можно выразить как мощность шума N, деленную на ширину полосы W. Поскольку время передачи бита и ско­рость передачи битов R_b взаимно обратны, Т_b можно заменить на 1/R_b:

Еще одним параметром, часто используемым в цифровой связи, является скорость передачи данных в битах в секунду. В целях упрощения выражений, для представления скорости передачи битов вместо записи R_b будем писать просто R. С учетом сказанного перепишем, выражение так, чтобы было явно видно, что отношение E/N₀ представляет собой отношение S/N, нормированное на ширину полосы и скорость передачи битов:

Критерий максимального правдоподобия приема сигналов

Критерий принятия решения, используемый в этапе 2 (рис. 1), описывался форму­лой следующим образом:

Популярный критерий выбора порога g для принятия двоичного решения в выраже­нии основан на минимизации вероятности ошибки. Вычисление этого минимального значения ошибки g=g₀ начинается с записи связи отношения плотностей условных вероят­ностей и отношения априорных вероятностей появления сигнала. Поскольку плотность условной вероятности также называется функцией правдоподобия s_i формулировка

(7)

есть критерием отношения функций правдоподобия. В этом неравен­стве P(s₁) и P(s₂)являются априорными вероятностями передачи сигналов s₁(t) и s₂(t), а H₁ и Н₂— две возможные гипотезы. Правило минимизации вероятности ошибки гласит, что если отношение функций правдоподобия больше отноше­ния априорных вероятностей, то следует выбирать гипотезу H₁.

При P(s₁) = P(s₂) и симметричных функциях правдо­подобия (i=1,2) подстановка формул (формулы для плотностей) (6) в формулу (7) дает

(8)

где — сигнальный компонент z(T) при передаче s₁(t), а а₂ — сигнальный компонент z(T) при передаче s₂(t). Порог g₀, представленный выражением (а₁ + а₂)/2 — это опти­мальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения в этом важном частном случае. Описанный подход называется критерием минимальной ошиб­ки. Для равновероятных сигналов оптимальный порог у₀, как показано на рис. 2, проходит через пересечение функций правдоподобия.

Вероятность ошибки

В процессе принятия бинарного решения, показанном на рис. 2, существует две возможности возникновения ошибки. Ошибка е появится при передаче s₁(t), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала z(t) упадет ниже g₀. Вероятность этого равна следующему:

(9)

Эта возможность показана заштрихованной областью слева от g₀ (рис. 2). Подобным образом ошибка появляется при передаче s₂(t), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала z(t) поднимется выше g₀. Вероятность этого равна следующему:

(10)

Вероятность ошибки равна сумме вероятностей всех возможностей ее появления. Для бинарного случая вероятность возникновения ошибочного бита можно выразить сле­дующим образом:

(11)

Объединяя формулы (9)—(11), получаем

или, что равносильно,

Иными словами, при передаче сигнала s₁(t) ошибка происходит при выборе гипотезы H₂; или при передаче сигнала s₂(t) ошибка происходит при выборе гипотезы Н₁. Для равных априорных вероятностей (т.е. P(s₁) = P(s₂) = 1/2) имеем следующее:

(12)

Используя симметричность плотностей вероятности, получаем следующее:

(13)

Вероятность появления ошибочного бита, Р_B, численно равна площади под “хвостом” любой функции правдоподобия, или,“заползающим” на “неправильную” сторону порога. Таким образом, для вычисления Р_B мы можем проинтегрировать от -¥ до g₀ или — от ¥ до g₀:

Здесь — оптимальный порог из уравнения (8). Заменяя функцию правдоподобия p(z|s₂) ее гауссовым эквивалентом из формулы (6), имеем

dz,

где s₀ — дисперсия шума вне коррелятора.

Сделаем замену u = (z- а₂)/s₀. Тогда s₀du = dz и

.

Q(x) называется гауссовым интегралом ошибок и часто используется при описании ве­роятности с гауссовой плотностью распределения. Определяется эта функция следующим образом:

Дата добавления: 2014-10-22