Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Литература: 1. [1Д]‚§22;

2. [2Д]‚§4.

Основная идея метода Гаусса - последовательное исключение неизвестных. Проиллюстрируем сущность метода на примере системы из трех уравнений

Полагая, что делим первое уравнение на и находим из него выражение для

Подставим это значение во второе и третье уравнения системы. В результате получим преобразованную систему вида

Из второго уравнения преобразованной системы находим выражение для (cчитаем, что).

Подставив в третье уравнение системы, получим

В новой системе из третьего уравнения непосредственно находится значение неизвестного, а затем “ обратным ходом” находят неизвестные и.

Ввиду соответствия между уравнениями системы и их расширенными матрицами все преобразования можно записать в матричном виде:

~ ~

Отсюда видно, что для решения линейной системы по методу Гаусса нужно расширенную матрицу системы преобразовать к ступенчатому виду, применяя элементарные преобразования ее строк.

Рассмотренный пример предполагал, что система совместна и имеет единственное решение. Но если при преобразованиях получаются уравнения вида

где то это означает, что система несовместна (т.е. не имеет решения). В матричном виде этому случаю соответствует появление строки вида

.

Если таких строк нет, а число ненулевых строк в ступенчатой матрице меньше числа неизвестных, то это означает, что система имеет бесчисленное множество решений и нужно определить основные (базисные) неизвестные. Этот случай подробно рассмотрен в предлагаемом примере.

Пример 17. Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение. Данной системе соответствует расширенная матрица

Приводим ее к ступенчатому виду. Делаем это так же, как и ранее (пример на стр. 15).

~ ~ ~ ~ ~ ~.

Окончательная ступенчатая матрица получилась треугольного вида: число ее ненулевых строк равно числу неизвестных. Следовательно, система совместна и имеет только одно решение. Согласно последней строке

Второй строке ступенчатой матрицы соответствует уравнение преобразованной системы вида

.

Подставив вместо его значение, находим:

.

Аналогично, согласно первой строки

Откуда

Ответ.

Пример 18. Решить систему методом Гаусса

Решение. Решение методом Гаусса запишем с помощью матриц.

~ ~

Так как последней строке соответствует уравнение вида,

система несовместна (т.е. решения не имеет).

Пример 19. Решить методом Гаусса систему

Решение.

~ ~ ~

~.

Получены две нулевых строки. Следовательно, система имеет два основных (базисных) неизвестных. Так как всех неизвестных четыре (и), то свободных неизвестных также два. В качестве основных неизвестных возьмем и, так как соответствующий им минор в ступенчатой матрице отличен от 0.

Тогда и - свободные переменные, причем =, =, где и - произвольные числа. Согласно полученной ступенчатой матрице имеем

Откуда из второго уравнения

Тогда

Ответ. Решение системы

Замечание 1. За основные переменные можно было бы принять и другую пару неизвестных, например, и или и или другие.

Дата добавления: 2014-10-22