Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Матричный способ решения линейных алгебраических систем




Чтобы матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Обратная матрица

 

Литература: 1. [1Д]‚§25;

2. [2Д]‚§15;

3. [3Д]‚глУ.‚§5.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. В противном случае (т.е. когда определитель матрицы равен 0) матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной матрице А (обозначается), если для нее выполняется условие

Е

где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А, т.е.

Е=

Рассмотрим процесс построения обратной матрицы для матрицы А

 

Вычисляем определитель этой матрицы det A.Он должен быть отличен от нуля. Затем находятся алгебраические дополнения элементов этой матрицы (А11, А12,..., Аnn). Из них строится присоединенная (иначе звездная) матрица. Ее особенность - алгебраические дополнения элементов строк составляют соответствующие столбцы:

.

Обратная матрица получается по формуле

где det A - определитель невырожденной матрицы А.

Пример 20. Построить обратную матрицу для матрицы А. Сделать проверку.

А=

Решение. Вначале убедимся, что данная матрица невырожденная: ведь обратную матрицу имеют только такие матрицы.

detА=

Находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы А

 

 

 

Строим присоединенную матрицу

Тогда обратная матрица имеет вид

 

Для проверки правильности построения обратной матрицы нужно вычислить произведения и Они должны равняться единичной матрице. Действительно,

 

Аналогично проверяем и условие

 

Литература: 1.[1Д]‚§25;

2. [2Д]‚§15;

3. [3Д]‚гл.‚§5.

Матричный способ решения линейных алгебраических систем применяется, как и правило Крамера, в случае, когда число уравнений системы равно числу неизвестных и определитель системы отличен от 0.

 

Для этой системы построим следующие матрицы

основная матрица системы,

матрица-столбец из неизвестных, матрица-столбец из свободных членов линейной системы.

Используя операцию умножения матриц и условие равенства двух матриц, данную систему можно представить в матричном виде

 

Для нахождения элементов неизвестной матрицы (а это неизвестные) умножим слева полученное матричное уравнение на матрицу

 

Обращаем внимание, что множитель в обеих частях равенства стоит слева, так

как, а (по свойству умножений на единичную матрицу), то получим

 

Пример 21. Решить матричным способом систему

 

Решение. Основная матрица системы уравнений составляется из коэффициентов при неизвестных

.

Вначале убедимся, что эта матрица невырожденная

 

Т.е. для матрицы существует обратная матрица.

Обозначим матрицу-столбец из неизвестных

 

В - матрица-столбец из свободных членов уравнений системы

 

Тогда заданную систему уравнений можно записать в матричном виде

 

Умножив слева это равенство на матрицу обратную матрице, получим

 

С учетом того, что и, получим

Строим обратную матрицу (см. пример 20 на стр. 81)

Находим неизвестную матрицу

Элементы матрицы составляют решение заданной системы уравнений, т.е.

Метод обратной матрицы можно применять для прямоугольной системы линейных уравнений, когда число уравнений m не совпадает с числом неизвестных n. Рассмотрим этот случай на примере m<n.

Пример 22. Решить матричным способом систему

Перепишем систему в виде

и будем рассматривать неизвестное t как параметр, равный С. Убедимся, что основная матрица преобразованной системы невырожденная

Обозначим столбец неизвестных а столбец свободных членов. Тогда система запишется в виде матричного уравнения Его решение Строим обратную матрицу, получим

 

Итак,

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-22; Просмотров: 359; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.