Скалярное произведение векторов

Деление отрезка в данном отношении

Литература: 1. [2Д]‚§7;

2.[3Д]‚гл.|‚§2

Точка М делит отрезок АВ в отношении, если выполняется равенство.

Если координаты точек, то

Особый интерес представляет случай, когда т. М делит отрезок АВ пополам. Тогда =1 и координаты срединной точки вычисляются по формулам

Пример. Отрезок прямой с концами в точках А (3,2) и В (12, 8) разделен на три равных части. Определить координаты точек деления.

Решение. А С Д В

--------------------------------------------

Для точки С из условия имеем, что. Тогда

Точка Д - срединная для отрезка СВ. Поэтому

.

Литература: 1. [1]‚§6;

2. [2]‚§6;

3. [3]‚гл.І‚§3.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Свойства скалярного произведения:

1. (коммутативность),

2. (дистрибутивность),

3., если =0 или =0 или перпендикулярно,

.

Первые три свойства показывают, что скалярное умножение суммы векторов на другую сумму можно производить по обычному правилу умножения многочленов.

Например,

Найдем выражение скалярного произведения векторов в прямо-угольных координатах. Для этого запишем разложение векторов и в базисе и учтем свойства скалярного произведения

Здесь учтено, что

Итак, получено

т.е. скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Скалярное произведение векторов используется при решении ряда задач.

1) Нахождение угла между векторами и

2) Вычисление проекции одного вектора на направление другого вектора

3) Условие перпендикулярности: т.е.

4) Вычисление работы постоянной силы вдоль прямолинейного участка пути (вектор смещения)

Пример. Векторы и образуют угол. Зная, что, найти длину вектора.

Решение. Так как, то найдем скалярный квадрат:

=

В этой формуле

Следовательно,

Пример. Даны векторы. Найти проекцию вектора на направление вектора.

Решение. Вначале найдем координаты вектора

Затем, используя скалярное произведение, вычислим проекцию

Пример. Даны вершины четырехугольника А (1,2,3), В (7,3,2), С (-3,0,6) и Д (9,2,4) Доказать, что его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны.

Решение. Определим координаты векторов 'и.

Проверяем условие перпендикулярности ненулевых векторов

=

= (-4)2+(-2)(-1)+3

Так как скалярное произведение векторов и равно 0, они взаимно перпенди-кулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А (3,2,-3), В (5,1,-1) и С (1,-2,1). Найти внутренний угол при вершине А.

Решение. Искомый угол есть угол между векторами и. Найдем координаты этих векторов

=,

=

Используя скалярное произведение, находим

Пример. Даны силы и Найти работу их равнодейству-ющей при перемещении точки из начала координат в точку А (2,-1,-1).

Решение. Вначале находим равнодействующую сил и.

= + =

Получено, что координаты силы равны

Вектор смещения имеет координаты

Работа силы при перемещении определяется как скалярное произведение

Дата добавления: 2014-10-22