II. Экспоненциальный (показательный) закон распределения непрерывных случайных величин

Опр.: Экспоненциальному (показательному) закону распределения с параметром подчиняется непрерывная случайная величина для которой плотность вероятности выражается формулой В кратком обозначении .

Функция распределения:

Основные числовые характеристики:

Вероятность попадания значения случайной величины в результате опыта в промежуток от до (в том числе, в отрезок) выражается формулой:

Задача 7.6: Установлено, что время ремонта телевизора есть непрерывная случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону. Среднее время ремонта телевизора составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения, числовые характеристики непрерывной случайной величины, вероятность того, что ремонт потребует не менее 20 дней.

Решение: По смыслу среднее время ремонта есть математическое ожидание случайной величины – времени ремонта телевизора. Оно связано с параметром экспоненциального закона формулой из которой можно найти .

Найти вероятность того, что ремонт потребует не менее 20 дней, означает – вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение большее, либо равное 20. Это легко сделать, если перейти к вероятности противоположного события которая по определению равна значению функции распределения в точке .

Графики соответствующих функций имеют вид:

Замечание: В частном случае, если непрерывная случайная величина – время безотказной работы прибора, то для нее можно ввести особое обозначение – Тогда – среднее время безотказной работы, обратная величина – среднее число отказов в единицу времени. Функция распределения – вероятность отказа прибора за время . Вероятность противоположного события, то есть вероятность безотказной работы за время как функция от аргумента называется функцией надежности и обозначается

Задача 7.7: Длительность времени безотказной работы прибора имеет экспоненциальное распределение. Среднее число отказов в течение одного часа равно 0,03. Найти вероятность того, что в течение 100 часов работы такой прибор а) не откажет; б) откажет.

Решение:

Ответ: а) б)

Дата добавления: 2014-10-23