Неравенство Чебышева

Сходимость по вероятности.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ № 8

Тема: НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА.

План лекции:

1. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева.

2. Закон больших чисел.

3. Центральная предельная теорема.

Одна из задач теории вероятностей – выяснение закономерностей, которые связаны с вероятностями, близкими к единице, и возникают в результате наложения большого числа случайных факторов. Такие закономерности формулируются в виде предельных теорем: закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Предельные теоремы – это особые утверждения, верность которых, в отличие от обычных теорем, гарантируется с вероятностью, стремящейся к единице.

Опр.: Последовательность случайных величин сходится по вероятности к постоянному числу если при неограниченном увеличении вероятность того, что общий член последовательности – случайная величина – будет сколь угодно близок к неограниченно приближается к единице. Сходящаяся по вероятности к последовательность обозначается Символ над знаком стрелки указывает, что рассматривается сходимость по вероятности.

Неравенство Чебышева: для любого вероятность того, что случайная величина отклонится от ее математического ожидания по абсолютной величине менее чем на , ограничена снизу величиной

Выясним смысл неравенства Чебышева, для этого раскроем модуль: .

Таким образом, смысл неравенства Чебышева заключен в следующем: вероятность того, что случайная величина примет значение в пределах интервала не может быть меньше, чем

Замечание: Часто употребляется другая форма неравенства Чебышева, которую можно получить, перейдя от вероятности события к вероятности противоположного события – вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на ограничена сверху величиной

Следствие: (правило «3») вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания менее чем на три ее среденеквадратических отклонения, не может быть меньше :

Дата добавления: 2014-10-23