Математический аппарат

Поведение САУ в общем случае описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, при решении которых вводится ряд допущений, либо применяются различные методы линеаризации, решаемые с помощью численных методов.

Пусть некоторая система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами:

(3.1)

где b_i, a_i – коэффициенты уравнения,

x, y – входной и выходной сигналы соответственно.

Данное уравнение является однородным уравнением с правой частью. Если коэффициенты b_i, a_i постоянные, то САУ является линейной, в противном случае - нелинейной. Решением данного уравнения является выражение вида:

y (t) =y_св (t) +y_пр (t), (3.2)

где y_св (t) - свободная составляющая выходной координаты, которая является решением уравнения (3.1) без правой части:

, (3.3)

y_пр (t) - принужденная составляющая выходной координаты, которая является частным решением уравнения (3.1) и зависит от закона изменения внешних воздействий х (t) или f (t).

Примеры математического описания различных объектов широко представлены в рекомендованной литературе.

Порядок уравнений динамики САУ зависит от сложности процессов, протекающих в нем, и от принятых допущений. Если же снизить порядок не удается, то существует прием, называемым методом разделения движения, который существенно упрощает расчет и проектирование систем управления. Если в САУ есть движения, не сопоставимые по времени протекания (медленные и быстрые процессы), то тогда систему можно разделить на две системы. Каждая из них описывают поведение САУ, но в различных масштабах времени.

Самым главным инструментом при изучении поведения САУ является преобразование Лапласа, которое переводят оригиналы функции и сигналов в их изображения.

Оператор Лапласа переводит дифференциальные уравнения из временной области в частотную. В этой области оперировать дифференциальными уравнениями проще, так как изображение всех переменных, независимо от формы и порядка дифференцирования представлены одинаково, как функции оператора «p». При этом решение сводится к решению алгебраических уравнений.

Если оригинал f (t) представляет собой функцию времени t, то изображениеэтой функции F (p) есть функция комплексной переменной p, задаваемой в виде следующего интеграла:

. (3.4)

Если в уравнении (3.3) заменить оператор дифференцирования на оператор Лапласа, то это уравнение можно записать таким выражением:

B (p)× Y (p)= A (p)× X (p), (3.5)

где A (p)= a_npⁿ + a_{n- 1} p^{n- 1}+…+ a ₁ p + a ₀;

B (p)= b_npⁿ + b_{n- 1} p^{n- 1}+…+ b ₁ p + b ₀; (3.6)

Из уравнения (3.5):

. (3.7)

Переход от изображения Y (p) к оригиналу y (t) осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа:

. (3.8)

Если знаменатель уравнения (3.8) не имеет кратных корней, то оригинал y (t) находится по известной из курса математики формуле разложения:

(3.9)

где M (p) - многочлен числителя,

N (p) - многочлен знаменателя,

N ¢(p) - производная знаменателя,

p_k -корни характеристического уравнения N (p)=0.

Дата добавления: 2014-10-23