Средняя и предельная ошибки выборочного среднего

Эмпирическое распределение

Количества бракованных изделий

Расчет теоретических частот распределения

Распределение количества бракованных изделий

Распределение Пуассона

Эмпирическое распределение

Вычисление

Расчет теоретических частот

Распределение мужчин по росту, см

Рост	Середина интервала	Число мужчин	Рост	Середина интервала	Число мужчин
143-146	144,5		167-170	168,5
146-149	147,5		170-173	171,5
149-152	150,5		173-176	174,5
152-155	153,5		176-179	177,5
155-158	156,5		179-182	180,5
158-161	159,5		182-185	183,5
161 -164	162,5		185-188	186,5
164-167	165,5

Применяя критерий Пирсона, проверим это распределение на близость к нормальному распределению.

1) По формуле (1.10.11) вычислим теоретические частоты (табл. 1.10.4).

2) Объединяя первые три и последние три интервала с малочисленными частотами в табл. 1.10.4, получим 11 интервалов, следовательно, k= 11-3=8.

3) По формуле (1.10.12) вычислим число (табл. 1.10.5).

4) В таблице П3 по числам =1,3427 и находим вероятность р = 0,9982.

Так как, данное распределение можно считать близким к нормальному распределению.

Таблица 1.10.4

Интервалы	Середина интервала -
А,
143-146	144,5	–21,03	–3,477	0,0009	0,0004
146-149	147,5	–18,03	–2,981	0,0047	0,0023
149-152	150,5	–15,03	–2,485	0,0182	0,0090
152-155	153,5	–12,03	–1,989	0,0552	0,0274
155-158	156,5	–9,03	–1,493	0,1309	0,0649
158–161	159,5	–6,03	–0,997	0,2427	0,1204
161 – 164	162,5	–3,03	–0,501	0,3519	0,1/46
164–167	165,5	–0,03	–0,005	0,3989	0,1979
167–170	168,5	2,97	0,491	0,3536	0,1754
170-173	171,5	5,97	0,987	0,2451	0,1216
173-176	174,5	8,97	1,483	0,1328	0,0659
176-179	177,5	11,97	1,979	0,0563	0,0279
179-182	180,5	14,97	2,475	0,0186	0,0092
179-182	180,5	14,97	2,475	0,0186	0,0092
182-185	183,5	17,97	2,971	0,0048	0,0024
185-188	186,5	20,97	3,467	0,0010	0,0005

Таблица 1.10.5

		– 1		0,0370
				0,2057
				0,0455
		–5		0,1429
		–2		0,0328
		–2		0,0606
				0,8182
				1,3427

Упражнение 1.10.5. Применяя критерий согласия Пирсона, проверьте эмпирическое распределение (табл. 1.10.6) на близость к нормальному распределению.

Таблица 1.10.6

Интервалы	56-58	58-60	60-62	62-64	64-66	66-68	68-70	70-72	72-74
Частоты

Вероятность того, что маловероятное событие произойдет в большой серии независимых испытаний m раз, вычисляется по формуле

(1.10.13)

где l – среднее число появления события,, (факториал числа m,). Формула (1.10.13) выражает закон Пуассона, называемый также законом редких событий.

Теоретическое распределение, починяющееся закону Пуассона, называется распределением Пуассона. Такое распределение значений признака х имеют статистические совокупности большого объема с небольшой долей единиц, обладающих этим признаком.

Пример 1.10.3. Проверим распределение количества бракованных изделий (табл. 1.10.7) на близость к распределению Пуассона.

Таблица 1.10.7

Количество бракованных изделий -
Количество партий -

Среднее число бракованных изделий в партии равно:

.

Вычислим в табл. 1.10.8 теоретические частоты распределения Пуассона по формуле

. (1.10.14)

Сопоставление данных и полученных теоретических частот позволяет высказать гипотезу о том, что данное распределение несущественно отличается от распределения Пуассона.

Другие теоретические распределения, например, биномиальное распределение, распределения Стьюдента, распределение Фишера изучаются в математической статистике.

Таблица 1.10.8

Количество бракованных изделий -	Теоретические частоты -
	З03

Упражнение 1.10.6. Проверьте эмпирическое распределение (табл. 1.10.9) на близость к распределению Пуассона.

Таблица 1.10.9

Ошибкой выборочного среднего или ошибкой выборки называется абсолютная величина разности генерального и выборочного средних. Так как генеральное среднее неизвестно, ошибку выборки вычислить нельзя, но ее можно оценить с помощью предельной ошибки:

, (1.10.15)

где

- предельная ошибка выборки;

- средняя ошибка, вычисляемая по формуле, зависящей от вида выборки;

- доверительный коэффициент, значение которого находится по заданной вероятности р в специальных таблицах.

Доверительный интервал, в котором с вероятностью р находится генеральное среднее, имеет вид:

. (1.10.16)

Средняя ошибкамалой выборки вычисляется по формуле

, (1.10.17)

где дисперсия малой выборки, вычисляемая по формуле

. (1.10.18)

Предельная ошибка малой выборки вычисляется по формуле (1.10.15), где коэффициент находится по уровню значимости и числу в табл. П4.

Пример 1.10.4. При проверке качества партии колбасы получены следующие данные о процентном содержании поваренной соли в 10 пробах: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9. Найдем с вероятностью 0,95 границы, в которых находится средний процент содержания поваренной соли в партии колбасы.

Составим расчётную табл. 1.10.10. По суммам в итоговой строке табл. 1.10.10 вычислим выборочную среднюю, выборочную дисперсию и среднюю ошибку выборки:

,,

.

Таблица 1.10.10

Дата добавления: 2014-10-23