Основные виды тренда и трендовых моделей

Среднедневная реализация продуктов в супермаркете (тыс. руб.)

Товарооборота, млрд. руб.

Динамика розничного

Реализации продуктов, тыс. руб.

Динамика среднедневной

Квартал	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год
I
II
III
IV

Так как в году 4 квартала, то полагая в формулах (1.12.16) m =4, вычислим 13 значений скользящего среднего:

;;

;;

;;

;;

;;

;;

.

Заметим, что значения скользящего среднего легко найти с помощью пакета «Анализ данных» в Excel (рис. 1.12.2). Для этого надо:

1) в ячейки А1-А16 записать уровни ряда;

2) в меню СЕРВИС выбрать АНАЛИЗ ДАННЫХ;

3) выбрать СКОЛЬЗЯЩЕЕ СРЕДНЕЕ;

3) выделить ячейки А1-А16;

4) указать интервал, равный 4 (число субпериодов в году);

5) указать выходной интервал В1;

6) выбрать ГРАФИК и ОК.

Рис. 1.12.2. Значения скользящего среднего

Вычислим значения сглаженного скользящего среднего:

;;

;;

;;

;;

;;

;.

Значения скользящего среднего и сглаженного скользящего среднего (гр.3 и 4 табл. 1.12.13) выявляют возрастающий тренд.

Упражнение 1.12.4. Методом сглаженного скользящего среднего выявите тренд ряда динамики:

Квартал	1-й год	2-й год	3-й год
I	78,2	81,4	82,0
II	78,8	80,1	83,3
III	82,6	84,4	87,5
IV	84,6	86,1	88,7

Таблица 1.12.13

Год, квартал	Номер - i	Уровни -	Значения скользящего среднего -	Значения сглаженного скользящего среднего -
А
1-й год, I кв.
II кв.
III кв.
IV кв.			265,25
2-й год, I кв			283,25	274,25
II кв.			292,00	287,63
III кв.			302,00	297,00
IV кв.			313,00	307,50
3-й год, I кв.			356,25	334,63
II кв.			392,00	374,13
III кв.			413,75	402,88
IV кв.			428,25	421,00
4-й год, I кв.			429,75	429,00
II кв.			431,75	430,75
III кв.			439,00	435,38
IV кв.			454,25	446,63

Заметим, что ряд динамики выражает зависимость его уровней от времени. Для построения регрессионной модели этой зависимости надо задать числовые значения показателя времени. Для упрощения формул, по которым вычисляют МНК-оценки параметров регрессионных моделей (1.11.4), в качестве числовых значений времени выбираются любые числа, сумма которых равна нулю. Такие числа называются условными моментами времени.

Регрессионная модель зависимости, выраженной рядом динамики, описывает его тренд. Поэтому эту модель называют трендовой моделью ряда динамики.

Метод аналитического выравнивания состоит в построении трендовой модели ряда динамики

, (1.12.17)

где – параметры, а – условные моменты времени.

Равномерное развитие имеет ряд динамики со стабильными абсолютными приростами. Его трендовой моделью является линейная модель

. (1.12.18)

Полагая в формулах (1.11.8) и, получим формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

, (1.12.19)

модели (1.12.18).

Равноускоренное или равнозамедленное развитие имеет ряд динамики со стабильными цепными темпами прироста. Его трендовой моделью является параболическая модель

, (1.12.20)

где в случае равноускоренного и в случае равнозамедленного развития.

Полагая в системе уравнений (1.11.14), и решая ее, получим формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

,,

(1.12.21)

модели (1.12.20).

Развитие с переменным ускорением или замедлением описывается кубической трендовой моделью

, (1.12.22)

где в случае переменного ускорения и в случае переменного замедления.

Нетрудно вывести следующие формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

,, (1.12.23)

, (1.12.24)

модели (1.12.22).

Развитие по экспоненте имеет ряд динамики со стабильными цепными темпами роста. Его трендовой моделью является экспоненциальная (показательная) модель

. (1.12.25)

Параметр модели (1.12.25) характеризует интенсивность развития.

Логарифмируя обе части уравнения (1.12.25), получим линейное уравнение: lg. Поэтому МНК-оценки параметров модели (1.12.25) вычисляются по формулам:

,. (1.12.26)

Наряду с рассмотренными трендовыми моделями применяются другие трендовые модели, из которых укажем полулогарифмическую модель

, (1.12.27)

и гиперболическую модель

. (1.12.28)

В качестве условных моментов времени в моделях (1.12.27) и (1.12.29) надо брать любые числа, удовлетворяющие соответственно условиям и. Так как модели (1.12.28) и (1.12.29) являются линейными относительно и, то МНК-оценки параметров этих моделей вычисляются соответственно по формулам

, (1.12.29)

и

,. (1.12.30)

Адекватность трендовой модели оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации (1.11.19).

Пример 1.12.8. Составим рассмотренные трендовые модели ряда динамики (табл. 1.12.14) и по наилучшей модели выявим тренд розничного товарооборота фирмы.

Таблица 1.12.14

Дата добавления: 2014-10-23