Теоретическая часть. Лабораторная работа № 3. Исследование электрической схемы замещения магнитной цепи

Лабораторная работа № 3. Исследование электрической схемы замещения магнитной цепи

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомиться с методом математического моделирования магнитных цепей в электромеханических устройствах с использованием электрических схем замещения.

Электромагнитное поле в общем случае описывается системой уравнений Максвелла, которая в дифференциальной форме выглядит следующим образом:

(3.1)

Здесь – вектор напряженности магнитного поля, А/м; – вектор индукции магнитного поля, Тл; – вектор напряженности электрического поля, В/м; – вектор электростатической индукции, Кл/м²; – вектор плотности тока; σ – удельная проводимость; ε – диэлектрическая проницаемость среды; ε₀ – электрическая постоянная, Ф/м; μ – магнитная проницаемость среды; μ₀ – магнитная проницаемость вакуума, Гн/м. Для линейной задачи σ = const, ε = const, μ = const.

Статическое магнитное поле является частным случаем электромагнитного поля и описывается системой уравнений

(3.2)

В интегральной форме данная система уравнений принимает вид

(3.3)

Здесь первое уравнение представляет собой закон полного тока: циркуляция вектора по замкнутому контуру l равна полному току, охваченному данным контуром, который может вычисляться как интеграл от плотности тока по площади контура S или как сумма токов I_j в N проводниках, охваченных контуром.

Во многих случаях в электромеханических системах закон полного тока может быть представлен в форме

, (3.4)

где H_i – касательная проекция вектора напряженности магнитного поля на участке длиной l_i; I – ток в обмотке с количеством витков W; F – намагничивающая сила обмотки.

Проведем преобразования:

. (3.5)

Получаем закон Ома для магнитной цепи:

, (3.6)

где F – магнитодвижущая сила магнитной цепи;

– магнитный поток на i-м участке магнитной цепи;

– магнитное сопротивление i-го участка магнитной цепи; λ = μ₀μ – удельная магнитная проводимость участка магнитной цепи; l – длина участка магнитной цепи; S – сечение участка магнитной цепи.

Следует отметить, что магнитное сопротивление вычисляется по формуле, изоморфной с формулой электрического сопротивления.

Выясним, при каких условиях электрическая и магнитная цепи подобны. Для этого воспользуемся первой теоремой подобия. Для определения условий, критериев и масштабов подобия выполним определенные действия в следующем порядке:

1. Определим соответствие величин оригинала и модели:

. (3.7)

2. Введем масштабы подобия:

. (3.8)

3. Приведем уравнения тепловых и электрических процессов к безразмерному виду:

; (3.9)

. (3.10)

4. Подставим в уравнение (3.10) величины из уравнения (3.9) с соответствующими масштабными коэффициентами:

. (3.11)

5. Уравнение (3.9) тождественно уравнению (3.11) при выполнении условия

.. (3.12)

6. На основании (3.12) получим выражение критерия подобия

. (3.13)

7. Проведем анализ размерностей величин, входящих в уравнение оригинала (3.9):

(3.14)

Видим, что размерности всех шести величин могут быть построены из двух основных размерностей: Вб, А. Это значит, что из трех масштабов подобия два масштаба являются независимыми, то есть их значения можно выбрать произвольным образом, а один – является зависимым. В качестве зависимого удобнее всего выбрать масштаб . Остальным масштабам m_R и m_F можно присвоить любые произвольные значения. В целях упрощения модели величины сопротивлений и МДС можно выбрать равными соответствующим величинам тепловых сопротивлений и ЭДС, то есть m_R = m_F = 1.

Зависимый масштаб должен быть рассчитан из (3.12):

. (3.15)

Следует отметить, что подобие магнитной и электрической цепей распространяется и на случай разветвленных магнитных цепей, где в качестве ветвей магнитной цепи выступают участки магнитопровода.

В простейшем случае при построении электрической схемы замещения магнитной цепи исследуемый магнитопровод разбивается вдоль силовой линии магнитного поля на участки с разным значением магнитного сопротивления (рис. 3.1, а). Каждый участок заменяется магнитным сопротивлением R_m, которому в соответствие ставится электрическое сопротивление R, связанное с магнитным сопротивлением соотношением (3.10). Обмотке с намагничивающей силой F в электрической схеме замещения соответствует ЭДС E (рис. 3.1, б).

Рис. 3.1. Магнитная система реактора (а) и ее упрощенная электрическая схема замещения (б)

В более точных моделях массивные участки магнитопровода моделируются электрической сеткой, построенной из электрических сопротивлений, каждый из которых соответствует определенному участку магнитопровода и определенному направлению магнитного потока. Наибольшее распространение получили сетки с прямоугольными ячейками (рис. 3.2). Каждое электрическое сопротивление соответствует магнитному сопротивлению i-го прямоугольного участка длиной Δl_i, сечением ΔS_i, вычисляемому как . Например, сопротивления, изображенные на рис. 3.2, рассчитываются как

, ,

, , (3.16)

где l_δ – расчетная длина зазора (машины) в осевом направлении.

Магнитодвижущая сила обмотки в этом случае распределяется равномерно по вертикальным участкам сердечника полюса, охваченного катушкой возбуждения.

Уточненная электрическая схема замещения магнитной цепи машины постоянного тока (МПТ) изображена на рис. 3.3.

В результате расчета электрической схемы замещения, изображенной на рис. 3.3, получаем токи в сопротивлениях, которые пересчитываются в магнитные потоки на соответствующем участке магнитопровода:

. (3.17)

Величину индукции можно рассчитать на участках, соответствующих магнитным сопротивлениям. При этом на сопротивлениях с индексом x (на рис. 3.2 – это R_mx1 и R_mx1) рассчитываются составляющие индукции по оси x и y:

и ,

и , (3.18)

где Ф_xi, Ф_yi – величина магнитного потока в i-м магнитном сопротивлении.

Значения электрических потенциалов в узлах сетки пересчитываются в значения скалярного магнитного потенциала:

. (3.20)

Дата добавления: 2014-10-23