Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции




Пусть функция y = f (x) дифференцируема в любой точке промежутка (a; b). Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка. Значит, существует касательная к графику функции y = f (x) в любой его точке (x; f (x)), a < x < b.

Определение 8. График функции y = f (x), дифференцируемой в каждой точке промежутка (a; b) называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если для любого x Î (a; b) график расположен не выше (не ниже) касательной к графику в точке (x; f (x)).

 

Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).

Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема на промежутке (a; b) и f ”(x) для x Î (a; b) сохраняет свой знак, то кривая y = f (x) выпуклая, если f ”(x) £ 0 при x Î (a; b), и кривая y = f (x) вогнутая, если f ”(x) ³ 0 при x Î (a; b).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f ”(x) ³ 0 для x Î (a; b). Обозначим x 0 любую точку промежутка (a; b). Построим касательную к кривой y = f (x) в точке (x 0; f (x 0)): y касат = f (x 0) + f (x 0)(x - x 0). Покажем, что график функции y = f (x) лежит не ниже этой касательной, то есть выполняется неравенство (рис.11):

f (x) – y касат. (x) ³ 0 для любого x Î (a; b).

Рис. 11

 

f (x) – y касат(x) = f (x) – (f (x 0) + f ’(x 0)(x - x 0)) =

= f (x) – f (x 0) – f ’(x 0)(x - x 0) = (f (x) - f (x 0)) - f ’(x 0)(x - x 0), где x Î (a; b), (1)

На [ x 0; x ] функция y = f (x) удовлетворяет условию теоремы Лагранжа. То есть на [ x 0; x ] найдется хотя бы одна точка c1, для которой выполняется равенство:

F (x) – f (x 0) = f ’(c1)(x - x 0).

 

Поставим в равенство (1) полученное соотношение:

f (x) – y касат(x) = f ’(c1)(x - x 0) – f ’(x 0)(x - x 0) = (x - x 0)×(f ’(c1) – f ’(x 0)). (2)

На [ x 0;c1] функция f ’(x) удовлетворяет условию теоремы Лагранжа. То есть на (x 0;c1) найдется хотя бы одна точка с2, для которой выполняется равенство:

f ’(c1) – f ’(x 0) = f ”(c2)(c1- x 0).

Подставим в равенство (2) полученное соотношение:

f (x) – y касат(x) = (x - x 0f ”(c2)(c1- x 0). (3)

Если x > x 0, то c1 > x 0 и c2 > x 0, то есть x - x 0 < 0 и с1- x 0 < 0.

По предположению f ”(x) ³ 0. Тогда f (x) – y касат(x) ³ 0.

Если x < x 0, то c1 < x 0 и c2 < x 0, то есть x - x 0 > 0 и c1- x 0 > 0.

Тогда f (x) – y касат(x) ³ 0.

Следовательно, при любом x Î (a; b) выполняется неравенство:

f (x) – y касат(x) ³ 0.

Аналогично можно доказать, что если f ”(x) £ 0 при любом x Î (a; b), то кривая y = f (x) на (a; b) будет выпуклой.

Теорема доказана.

 

Определение 9. Пусть в точке (x 0; f (x 0)) существует касательная. Тогда точка (x 0; f (x 0)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой или наоборот называется точкой перегиба графика функции y = f (x).

 

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба).

Если функция y = f (x) дифференцируема в окрестности точки x 0, вторая производная функции f ”(x 0) = 0 или не существует и f ”(x) меняет свой знак при переходе x через точку x 0, то точка (x 0; f (x 0)) – точка перегиба кривой y = f (x).

Доказательство. Для определенности рассмотрим слeчай, когда f ”(x) при переходе через точку x 0 изменяет знак с «+» на «-».

Тогда в левой полуокрестности точки x 0 f ”(x) >0, то есть кривая при x < x 0 вогнутая, а в правой полуокрестности точки x 0 f ”(x) <0, то есть кривая при x > x 0 выпуклая.

Следовательно, точка (x 0; f (x 0)) по определению является точкой перегиба графика функции y = f (x).

Аналогично рассматривается другой случай, когда f ”(x) при переходе через точку x 0 изменяет знак с «-» на «+».

Теорема доказана.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 364; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.