Доказательство

Экстремумы функции

Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a; b), если для любых x ₁ и x ₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x ₂ > x ₁ следует неравенство:

f (x ₂) > f (x ₁) (f (x ₂) < f (x ₁)).

Определение 5. Функция y = f (x) называется монотонной на промежутке (a; b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности).

Если функция y = f (x) дифференцируема на промежутке (a; b) и f ’(x) > 0 (f ’(x) < 0) для любых x Î (a; b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмем любые два значения x ₁ и x ₂ из промежутка (a; b). Для определенности предположим, что x ₂ > x ₁.

На отрезке [ x ₁; x ₂] функция y = f (x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на [ x ₁; x ₂]. То есть существует хотя бы одна точка c Î (x ₁; x ₂), в которой выполняется равенство:

f (x ₂) - f (x ₁) = f ' (c) × (x ₂ - x ₁).

Если f ’(x)>0 для любых x Î(a; b), то f ' (c)>0. Поэтому f (x ₂) - f (x ₁)>0, то есть из условия x ₂ > x ₁ следует неравенство f (x ₂) > f (x ₁). А так как x ₁ и x ₂ любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f (x) возрастает на этом промежутке.

Если f ’(x) < 0 для любых x Î (a; b), то f ’(c) < 0. Поэтому f (x ₂) - f (x ₁) < 0, то есть из условия x ₂ > x ₁ следует неравенство f (x ₂) < f (x ₁). А так как x ₁ и x ₂ любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f (x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

Определение 6. Функция y = f (x) x ₀Î D(f) максимум y _{m ax} (минимум y _min), если существует такая, окрестность точки x ₀, для всех x из которой выполняется неравенство:

f (x ₀) > f (x) × (f (x ₀) < f (x)).

Определение 7. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума)

Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке x ₀, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

1) Для определенности рассмотрим случаи, когда функция y = f (x) в точке x ₀ имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки x ₀ f (x ₀) > f (x).

Отсюда следует, что для любого D x # 0 справедливо неравенство: f (x ₀+D x) - f (x ₀) < 0. Разделим неравенство на D x. При этом получим:

при D x > 0:

при D x < 0:

Перейдем к пределам:

Так как f ”(x ₀) существует, то:

f ’(x ₀+0) = f ’(x ₀-0) = f (x ₀) = 0.

Аналогично рассматривается случай, когда x ₀ – точка минимума.

2) Если f ' (x ₀) не существует или равна ¥, то точка x ₀ может быть точкой экстремума функции.

Например, функция y = 1х1 имеет минимум при x = 0, хотя y ' (0) не существует (рис.9)

Рис. 9

Теорема доказана.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума)

Если функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀, дифференцируема в некоторой ее окрестности за исключением, может быть, самой этой точки, f ’(x ₀) = 0 или не существует и при переходе x через точку x ₀ f ’(x) изменяет знак, то точка x ₀ является точкой экстремума. Если при этом знак f ’(x) меняется.

с «+» на «-», то x ₀ - точка максимума,

с «-» на «+», то x ₀ - точка минимума.

Доказательство. Пусть f ’(x) при переходе x через точку x ₀ изменяет знак с «+» на «-», то есть f ’(x)>0 при x Î (x ₀-d; x ₀)

и f ’(x)<0 при x Î (x ₀; x ₀ +d), где d>0.

(рис.10).

Рис. 10

1) Пусть x Î (x ₀-d; x ₀). На отрезке [ x; x ₀] функция y = f (x) удовлетворяет теореме Лагранжа (по условию теоремы 4). Значит, на (x; x ₀) найдется хотя бы одна точка c₁, в которой выполняется равенство:

f (x) – f (x ₀) = f ’(c₁)×(x – x ₀), где c₁Î(x ₀-d; x ₀).

Так как f ’(c₁) > 0 и x - x ₀ < 0, то f(x) – f(x₀) < 0

2) Пусть x Î (x ₀; x ₀ +d). На отрезке [ x; x ₀] функция y = f (x) также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на (x ₀; x) найдется хотя бы одна точка с₂, в которой выполняется равенство:

f (x) – f (x ₀) = f ’(c₂)×(x – x ₀), где c₂ Î (x ₀; x ₀+d).

Так как f ’(c₂) < 0 и x - x ₀ > 0, то f(x) – f(x₀) < 0

Следовательно, для любого x Î (x ₀-d; x ₀ +d) выполняется неравенство:

f (x ₀) > f (x).

Отсюда следует, что точка x ₀ является точкой максимума функции y = f (x).

Аналогично рассматривается случай, когда f ’(x) при переходе x через точку x ₀ изменяет знак с «+» на «-». При этом точка x ₀ является точкой минимума функции.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-10-15