Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции в некоторой окрестности точки x ₀ (рис.6):

Рис. 6

из DM₀AN: AN = M₀A×t g a = D x × f '(x ₀) = dy

Итак: дифференциал функции y = f (x) в точке x ₀ равен приращению ординаты касательной (A N), проведенной к кривой y = f (x) в точке (x ₀; f (x ₀)), при переходе от x ₀ к x ₀+D x (от точки М₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y = f (U) дифференцируема в точке u, а функция u = u (x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u (x)). Тогда для сложной функции y = f (u (x)) справедливо равенство:

d y = f ' (u) du = y ' (x) dx

Доказательство. Сложная функция y = f (u (x)) является дифференцируемой функцией в точке x. Поэтому справедливо равенство:

d y = y ' (x)d x

Но так как функция y (x)= f (u (x)) сложная функция, то

y ' (x) = f ’(u) × u ' (x)

Поэтому d y = y ' (x) d x = f ’(u)× u ' (x) dx = f’(u)×du, так как по условию теоремы функция U = U (x) дифференцируема в точке x Þ

d u = u ' (x)× dx.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-10-15