Производная и дифференциал

Таблица и основные правила.

Применяя алгоритм, легко получить такие правила поиска производных:

(с)’=0; x’=1; (u(x) v(x))’=(u(x))’ (v(x))’.

Сложнее получить формулу (u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x). Получим ее, несколько сократив запись алгоритма. Получаем f(x)= u(x)v(x). Тогда f(x+)= u(x+)v(x+). Но лучше это записать так f(x+)= (u(x)+)(v(x)+), потому что при изменении переменной х изменяются и переменные u и v. Далее получаем f(x+)- f(x)== (u(x)+)(v(x)+)--u(x)v(x)= v(x) +u(x) . Разделим полученное на и вычислим предел отношения. Получим рабочую формулу.

По аналогичной схеме можно получить производную частного =. Для доказательства достаточно записать f(x+)= в виде f(x+)= и далее продолжить алгоритм вычисления производной ==

==.

Если y=f(x) и х=ф(у) взаимно обратные функции, то их производные связаны соотношением y’_x=. Доказательство следует из =

Если y=f(x) и х=ф(t) (т.е. y=f(ф(t)) – сложная функция), то y’_t= y’_xx’_t, где y’_x= f’_x(x), а x’_t = ф’_t(t).

Доказательство следует из цепочки преобразований = и затем вычислить предел полученного при 0, что приведет к тому что 0.

Бывают ситуации, когда функция y=f(x) задана параметрически, т.е. в виде . Тогда используют тот факт, что отношение всегда можно преобразовать по схеме . А при вычислении производной получить в ответе запись y’=.

Используя эти правила, получаем сначала таблицу производных основных элементарных функций.

Функция Ее производная Вывод формулы и комментарии

y=a^x, a1,a>0; y’= a^x lna; Имеем y+= a^x+, =a^x+-a^x = a^x (a-1)

Теперь ==

= a^x = a^x lna.

y=e^x, y’= e^x; Как частный случай для предыдущей

формулы.

y=lnx y’=; Т.к. х=e^у, то на основании связи производных

взаимно обратных функций имеем

(lnx)’_x====.

y=х^, y’=х^, Имеем y=х^ = e^lnx. Далее используем

предыдущую формулу и производную от

сложной

функции y’= e^{lnx }=х^.

y=Sinx y’=Cosx Имеем =Sin(x+)-Sinx=2CosSin;

теперь y’= =

=Cosx.

y=Cosx y’=-Sinx В самом деле (Cosx)’=(sin(-x))’=

Cos(-x)(-x)’=-Sinx. Применена формула

Приведения и производная сложной

функции.

y=tgx y’= Достаточно записать производную от дроби

(tgx)’= далее преобразовать рез-т.

y=arcSinx y’= В самом деле, по условию x=Siny. Для

взаимно обратных функций имеем (arcSinx)’=

====.

y=arctgx y’= Схему получения смотри выше.

y=arcCosx y’=- Ввиду того, что arcCosx=-arcSinx.

y=arcctgx y’=- Схему получения смотри выше.

В тех случаях, когда применить вышеприведенные правила и таблицу затруднительно, можно использовать прием, называемый логарифмическим дифференцированием. Пусть мы имеем y=. Тогда невозможно применить ни одну их записанных выше формул. Поступают так. Сначала логарифмируем обе части равенства и получаем lny=ф(х)ln(f(x)). Теперь возьмем производную от каждой части равенства, зная, что у – это функция от х. Получаем y’=ф’(x)lnf(x)+ф(x) f’(x). Из полученного равенства найдем требуемое

y’=y(ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x))=(ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x)).

Возможен и другой подход. Имеем y==. После чего можно искать производную по правилу сложной функции. Получаем

y’=(ф’(x)lnf(x)+ф(x) f’(x))= (ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x)).

Если же функция y=f(x) задана неявно, т.е. уравнением F(x;y)=0, то для поиска производной следует взять производную от равенства F(x;y)=0, зная, что у= f(x), хотя f(x) и неизвестна. Затем из полученного равенства находят y’.

Из связи предела и бмв для производной получаем =f’(x)+, где  - бмв. Т.к. слагаемые в сумме, записанной справа неравноценны по величине (произведение  имеет порядок малости более высокий, чем , а первое слагаемое имеет порядок малости, такой же как и ), то одно из них выделим в виде определения.

Опр. Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Получаем dy= f’(x). Иногда используют обозначение df(x)= f’(x).

Т.к. =dx, то обозначение дифференциала принимает симметричный вид

dy= f’(x)dx или df(x)= f’(x)dx или dy=y’dx.

Используя новое понятие, можно сказать что производная есть отношение дифференциалов функции и аргумента. Этот факт дает новые формы записи для символа производной: y’=f’(x)=y’(x)= ===.

Можно достаточно просто истолковать дифференциал – это приращение касательной к кривой в данной точке. (cм. Рис 4.1. DB – это приращение функции y=f(x); DC – приращение dy касательной плоскости. Простейшие свойства дифференциала вытекают из соответствующих свойств производной (аддитивности, однородности и линейности)

С помощью дифференциала можно получить известную формулу для вычисления производной параметрически заданной функции. Имеем . Тогда отношение y’= принимает вид y’= и затем получить y’=.

Используем дифференциал для приближенных вычислений ввиду того, что , которое мы не знаем во многих случаях, можно приближенно заменить на величину dy, которое всегда можно вычислить. Это положено в основу приближенной формулы f(x+)=f(x)+ =f(x)+f’(x) . Пусть нам требуется вычислить значение функции у= f(x), но точно сделать это затруднительно. Тогда можно предложить алгоритм применения дифференциала:

-выбери точку х_о достаточно близко к точке х и вычисли значение f(x_о);

-вычисли значение f’(x_о) и значение =х- х_о;

-вычисли приближенно f(x), заменив на f’(x_о) .

Пример 4.1. Вычислите приближенно ln1,2. Решение. Выбираем подходящую по записи функцию f(x)=lnx. Нам предстоит вычислить ее значение при х=1,2. Сделать это мы не можем. Выберем х_о=1. Найдем

dy= f’(x_о) при =1,2-1=0,2. Получаем (lnx)'==1 при х_о=1. Теперь вычислим приближенное значение ln1,2=ln1+1*0,2=0,2. О погрешности результата в данный момент речи не идет – нужно хотя бы приближенное значение.

Дифференциал обладает свойством инвариантности (неизменность формы записи в зависимости от вида задания функции).

Пусть у= f(x) и х=ф(t). Тогда dy=f’_tdt. Но dx=ф’_tdt. C другой стороны мы знаем, что f’_t=f’_хф’_t. Поэтому dy=f’_tdt= f’_хф’_tdt=f’_х dx – т.е. форма записи сохранилась.

Дата добавления: 2014-10-23