Уравнение Шрёдингера

Волновое уравнение было предложено в 1926 г. немецким физиком Э. Шредингером (1887-1961) для описания состояния электрона в атоме водорода. Он объединил математические выражения для колебательных процессов и уравнение де Бройля и получил следующее линейное дифференциальное однородное уравнение:

где ψ - волновая функция (аналог амплитуды для волнового движения в классической механике), которая характеризует движение электрона в пространстве как волнообразное возмущение; x, y, z - координаты, m - масса покоя электрона, h - постоянная Планка, E - полная энергия электрона, E _p - потенциальная энергия электрона.

Решениями уравнения Шрёдингера являются волновые функции. Для одноэлектронной системы (атома водорода) выражение для потенциальной энергии электрона имеет простой вид:

E _p = − e ² / r,

где e - заряд электрона, r - расстояние от электрона до ядра. В этом случае уравнение Шрёдингера имеет точное решение.

рисунок 5

Чтобы решить волновое уравнение, надо разделить его переменные. Для этого заменяют декартовы координаты x, y, z на сферические r, θ, φ. Тогда волновую функцию можно представить в виде произведения трех функций, каждая из которых содержит только одну переменную:

ψ(x, y, z) = R (r) Θ(θ) Φ(φ)

Функцию R (r) называют радиальной составляющей волновой функции, а Θ(θ) Φ(φ) - ее угловыми составляющими.

В ходе решения волнового уравнения вводятся целые числа - так называемые квантовые числа (главное n, орбитальное l и магнитное m_l). Функция R (r) зависит от n и l, функция Θ(θ) - от l и m_l, функция Φ(φ) - от m_l.

Геометрическим образом одноэлектронной волновой функции является атомная орбиталь. Она представляет собой область пространства вокруг ядра атома, в которой высока вероятность обнаружения электрона (обычно выбирают значение вероятности 90-95%). Это слово происходит от латинского " орбита " (путь, колея), но имеет другой смысл, не совпадающий с понятием траектории (пути) электрона вокруг атома, предложенным Н. Бором для планетарной модели атома. Контуры атомной орбитали - это графическое отображение волновой функции, полученной при решении волнового уравнения для одного электрона.

Дата добавления: 2014-10-23