Деформации при плоском напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука

Плоское напряженное состояние. Анализ формул.

n_α – нормаль к площадке А_α; n – нормаль к площадке наибольшего главного напряжения; α – острый угол между n_α и n, причем если поворот от n к n_α по часовой стрелке, то α – отрицательный, если против – положительный.

Анализ формул (3) и (4):

σ_α+σ_β=σ₁(sin²α+cos²α)+ +σ₂(sin²α+cos²α)=σ₁+σ₂; Сумма напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда равна сумме главных напряжений, независимо от ориентации площадки.

Вывод: экстремальными значениями для σ_α и σ_β являются главные напряжения, т.е. σ₂≤σ_α≤σ₁; σ₂≤σ_β≤σ₁. Касательные напряжения τ имеет максимальные величины на площадках α=±45º от направления σ₁. τ_α=-τ_β. Получили подтверждение закона парности касательного напряжения: τ на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда равны по величине и противоположны по направлению.

Дано: σ₁ и σ₂.

Найти: ε₁ и ε₂, т.е. относительную деформацию бесконечно малого элемента в окрестности рассматриваемой точки.

ε₁=ε₁'+σ₁"; ε₂=ε₂'+σ₂", где ε₁' и ε₂' – результат действия σ₁;

σ₁" и σ₂" – результат действия σ₂.

Рассмотрим плоское деформированное состояние как сумму двух одноосных, для которых закон Гука: σ=Еε.

Продольная: ε_Х;

поперечная: ε_Y=-υε_X; ε_Z=-υε_X.

ε₁'=σ₁/E; σ₂"=σ₂/E;

Дата добавления: 2014-10-31