Переход от параметрических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой

Существуют различные виды уравнений прямой в пространстве. В зависимости от условий решаемой задачи, которая связана с прямой линией в прямоугольной системе координат в пространстве, иногда приходится переходить от одного вида уравнений прямой к другому.

Сейчас мы покажем как из параметрических уравнений прямой получить канонические уравнения прямой в пространстве вида и уравнения двух пересекающихся плоскостей вида , определяющих заданную прямую.

Получить канонические уравнения прямой в заданной прямоугольной системе координат в пространстве при известных параметрических уравнениях прямой не представляет сложности. Для этого нужно разрешить каждое из параметрических уравнений прямой относительно параметра и приравнять правые части полученных равенств:

Пример. Перейдите от параметрических уравнений прямой к каноническим уравнениям прямой в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Решение. Перепишем исходные параметрические уравнения прямой в виде . Разрешим каждое из них относительно параметра и приравняем правые части полученных равенств:

Ответ.

Теперь давайте разберемся, как получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые бы задавали прямую, соответствующую параметрическим уравнениям прямой вида .

Начнем с самых простых случаев.

Если , то параметрические уравнения прямой имеют вид . В этом случае очевидно, что прямая является линией пересечения плоскостей и .

Аналогично, если , то параметрические уравнения прямой задают прямую линию, по которой пересекаются две плоскости и . При , прямая задается двумя пересекающимися плоскостями и .

Пример. Напишите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве параметрическими уравнениями .

Решение. Из заданных параметрических уравнений прямой мы можем сразу записать уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту прямую: .

Ответ.

Переходим к следующим случаям.

Если , то параметрические уравнения прямой примут вид . Уравнение первой плоскости очевидно - . Для получения второго уравнения плоскости нужно разрешить второе и третье параметрические уравнения относительно параметра и приравнять правые части:

Аналогично поступаем, если или .

Пример. Получите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, определяемой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве параметрическими уравнениями .

Решение. Уравнение первой плоскости очевидно: . Уравнение второй плоскости получим, отталкиваясь от первого и третьего параметрических уравнений прямой:

Ответ.

Остался не рассмотрен один случай – когда . При этом следует разрешить каждое параметрическое уравнение прямой относительно параметра и попарно приравнять правые части:

Тогда приходим к трем уравнениям пучка плоскостей с линией пересечения, определяемой параметрическими уравнениями прямой . Нам достаточно двух из трех уравнений плоскостей пучка.

Пример. Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую линию, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве задана параметрическими уравнениями вида .

Решение. Разрешим параметрические уравнения прямой относительно параметра :

После попарного приравнивания правых частей равенств имеем

Берем любые два из трех полученных уравнений плоскостей.

Ответ.

Дата добавления: 2014-10-31