Ограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Ответ: Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.

Определение. Числовая последовательность {xn} ограничена, если существует такое конечное число К, что для всех n выполнено

d (xn, a) < K.

Доказательство. Пусть

Тогда

N: n > N: d (xn, a) < 1.

Внутри окрестности радиуса R = 1 бесконечное число точек, а вне этой окрестности конечное число точек, допустим, что это точки x1, x2, … xN. Выберем число

,

тогда уже для всех n будет выполнено

d (xn, a) < K.

17.переход к приделу в неравенстве(2 теоремы). Единственность предела. Теорема о сжатой переменной.

Ответ: Пусть заданы две последовательности и . Если и, начиная с некоторого номера, , то выполняется неравенство:

Теорема

(Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах, теорема сжатия, правило сэндвича, теорема о трех струнах).

Если и существует номер , что для любого выполняется неравенство , то последовательность сходится, причем

Единственность предела последовательности

Докажем теорему о единственности предела последовательности.

Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Рис. 49

Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n , n = 1, 2,..., что = a и = b, причем a b, a , b . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b (рис. 49): U V = . Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности Vдолжны находиться все члены последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие.

ТЕОРЕМА №6: (о сжатой переменной).

Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство:

Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства:

и

В силу неравенств (*) выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):

Это и означает, что переменная имеет пределом .

, ч. т. д.

Дата добавления: 2014-10-31